方涛
摘要：分形学是研究非线性问题的强有力工具，分形及混沌理论为机械系统的故障诊断和状态预测提供了一种新的思路和方法，它能够弥补传统故障诊断分析方法的不足，使故障诊断技术跃入一个更加广阔的天地。本文通过对一种基本故障类型的分形诊断分析，探索分形理论在机械故障诊断领域的应用。
关键词：分形；混沌；分维数；故障诊断
中图分类号：TH165.3文献标识码：B
分形学是一门横断学科的新理论，自20世纪70年代诞生以来，在国内外发展很快，已被众多的学科和领域引用。近年来，分形学在诸多领域得到广泛应用，显示了强大的生命力。
把分形理论应用于机械系统故障诊断领域是近年来国际学术界的新动向：目前，我国多所高等院校在此领域做了有益的探索和研究，但其分析方法还未能有效地推广应用，用于故障分析的实践还很少。
一、分形学在机械故障诊断中应用的意义
传统的故障诊断中，状态监测及各种信号频谱分析已得到广泛应用，但是基于傅里叶变换的频谱分析方法存在着严重不足，只适于分析平稳信号，而不适于分析非平稳信号，这一缺陷限制了其在设备故障诊断领域中的应用二因此，对突变信号和非平稳信号的分析已成为各领域的共同要求，在此背景下，又出现了以小波分析为代表的时频分析法。时频分析能对突变信号进行分析，能做局部分析，可以聚焦到分析对象的任意细节。因此时频分析法在故障诊断中的应用才崭露头角就已显示其生命力，目前在轴承、齿轮等故障诊断方面已取得一定成果。但是，在一些大型复杂机械系统的故障诊断中，对多个元素的非线性系统的关系处理显得无能为力。
分形学是研究非线性问题的，它特别适合研究各种复杂现象。将分形与混沌理论应用于复杂机械系统的故障诊断中，能够把机械系统状态的复杂变化用简单的数字—“分维数”的变化来表征，能给出状态变化的量化指标，减少状态（或故障）的表征参数，从而使诊断输出结果更加明显、直观；根据系统的结构和功能进行层次划分及各子系统所表现出的不同层次的征兆信息，基于分形的故障诊断方法可以应用到任意子系统级（见图1）。
另外，设备状态预测是设备故障诊断中必不可少的重要环节，它根据对设备连续监测所取得的特征参数的历史数据来确定设备目前的运行状态，预测设备的未来运转趋势，预测和确定设备的残存寿命，这对于设备维护和维修决策具有重大意义。而传统的状态监测趋势分析手段很难做到这一点。混沌和分维数的发现，使我们能够从一个似乎是杂乱无章的时间序列中得出反映系统本质特征的参数—“分维数”。并且混沌理论中的其他特征量又可以使我们从一个时间序列预测系统未来的状态大量的混沌研究结果已证明，混沌的基本特点决定了对混沌运动轨迹的预测具有最大可预测尺度，在可预测尺度内，可以对系统运动轨迹进行预测（如发动机气缸窜气压力，滑动轴承轴瓦间隙，透平机组振动信号等）。
二、分形学理论基础
分形学起源于一种新的数学语言—分形几何，用于研究自然界中“不稳定的、变幻莫测的、非常不规则的现象”：但是，迄今为止，分形仍然没有一个严格的定义。对分形的概念最简单的描述是：“一个形体的某种结构或过程从不同的空间或时间尺度来看都是自相似的”。一个分形集一般具有三个要素：形、机遇、维数。这里的维数指的就是分形维数，即分维数，它引出了一个关于集合的复杂度、不规整度的定量的回答。维数是几何学和空间理论的基本概念，分维数D度量了系统填充空间的能力，它从测度论和对称理论方面刻画了系统的无序性，是描述复杂对象的最基本特征。
这里重点介绍谱维数。将测取的时间序列进行变换，可得到不同的谱特征信号，如进行傅里叶等变换，可以得到功率谱。从谱的角度看，改变截止频率f就是改变观测的粗视化程度。如果谱具有分形特征，则不管如何改变截止频率f，因其具有自相似的特点，故形状不会改变，所以谱s(f)随频率f的变化可表示为
式中：β一一功率谱指数
如果时间序列p(t)或空间分布p(r)具有分形现象，则它们的标度率为
p(t)~tα(2)
式中：α一一标度指数
α和β的关系由量纲分析求得
将式（2）和（3）比较得
β=2α+1(4)
对于单变量的时间序列，如果是一条直线，它是一维的；如果在它上面有一些涨落，其拓扑维数d=1应小于分维数D。一般二者的关系为
D=d+1-α(5)
当d=1时，得
D=2-α(6)
将其带入式（4），可得谱指数β与分维数D的关系
β=5-2D(7)
例如，在测试电路噪声产生的变动图表中，其β≈1，则得分维数D≈2，这表明噪声图表是大约能把二维的面全部覆盖的曲线。
三、应用实例
尽管机械系统发生的故障不同，但其故障形式是有限的，即其运动轨迹只能收缩在某个区域，这就是机械系统状态历程的吸引子。把吸引子所覆盖的区域看作复杂机械系统的状态点集，它是一个分形集合。如果把其中的部分点按时间顺序连接起来，它就是复杂机械系统的状态轨迹。
下面以滚动轴承的故障诊断为例，介绍基于分形的故障诊断方法。
1.滚动轴承振动的动力学分析
滚动轴承振动是一个周期性的二自由度系统（如图2所示）。假定理想状态下轴承外圈是固定的，内圈以常速旋转，滚珠的质量为零，外加垂直载荷F作用在内圈上，转子在一个以（Ox，Oy）为原点的径向平面上运动。那么，转子的动力学运动方程可表示为
式中：θj(t)—第θj个滚珠的角位移；
C—阻尼因子；
M—转子的质量
采取时间序列｛xj｝对上式求解，将其延拓成一个m维相空间的相型分布
式中：т为延迟时间
适当选取临界距离ε，在无标度区内存在如下关系
D2（m），=1nC2（ε，m）/lnε（10）
式中：D2（m）就是所谓的关联维
2．基于分形的滚动轴承故障诊断示例
根据上述原理，选定两台结构相似但润滑条件不同的滚动轴承系统（分别为供水一循7#泵，设备型号28SH-l0A，长沙水泵厂，润滑脂润滑；一循2#泵，设备型号20SH-9，武汉水泵厂，润滑油润滑）为原型进行分形诊断测试实验。在不同的轴承间隙和工况条件下，采集其振动信号（图3），再进行分维数计算。计算结果表明，分维数的大小与轴承间隙之间存在一定的关系，见表1、2。
表1一循2#泵（润滑油润滑）的分维数测试
表2一循7#(润滑脂润滑)的分维数测试
从这两组数据可以看出，小间隙条件下时域波形的分维数较小，润滑脂润滑的轴承分维数比润滑油润滑的轴承小的增大而增大。
由于所取的序列点数有限，计算中会有误差，同时数据采集的精度对所计算的分维数也有一定影响。但是在轴承运转良好时分维数最小，运转不正常时，分维数增大。因此，可以把分维数作为故障特征量，通过系统分维数对故障的敏感性来对机械系统进行故障诊断。
参考文献：
张济忠．分形．清华大学出版社，1995.
刘式达．分形和分维引论．气象出版社，1994.
屈梁生．机械故障诊断学．上海科学技术出版社，1990.
洛仑兹，E.N.混沌的本质．气象出版社，1997.