高永生1，唐力伟1，王国敏2
摘要：利用时间序列ARMA模型求出单级齿轮箱系统的传递函数，然后求出系统正常工作、齿轮断齿、轴承滚珠磨损、轴承内圈和外圈裂纹五种工作状态下系统稳态和瞬态的Bode图通过图形比较，可以简单、有效地判断故障状态因此本方法对齿轮箱瞬态故障诊断有着重要的应用价值。
关键词：ARMA模型；传递函数；Bode图；瞬态故障诊断；齿轮箱
如何利用齿轮箱瞬态振动信号做故障分析，进而提高故障诊断的效率和质量是当前齿轮箱故障诊断中的前沿问题。
传递函数反映了系统整体特性，它只与系统自身结构有关而与外界因素无关。一种结构性能对应着一种系统特性，由于齿轮箱在不同的工作状态下其结构是不同的，这样对应不同工况的系统传递函数也不同，如果提取了代表典型故障的系统特性参数，就可以依据它来做故障诊断。这就是传递函数故障诊断的原理。
当齿轮箱存在故障或者输入扭矩存在波动时，采集到的齿轮箱振动信号实际上是瞬态信号。为了更好的进行故障诊断，需要在启动或者停机或是突然加载阶段采集信号。如再进一步分析则传统方法显得无能为力了，但是，由于齿轮箱的系统函数不变，通过分析系统函数就可以不受瞬态信号的影响，达到故障诊断的目的。
武警工程学院的王炳和将传递函数方法应用到医学领域，在求出人体脉搏系统的传递函数后，得到了四种典型脉象信号的传递函数图形，对人体血管疾病做出有效的判断。清华大学的李建秋等人求出了发动机各缸转矩到飞轮转速的传递函数，利用传递函数的幅频特性有效分析曲轴扭振对飞轮转速的影响。
本文从齿轮箱系统角度出发，利用时间序列ARMA模型求出系统传递函数，对不同工况下稳态和瞬态系统特性做出有效分析。建立五种工况的Bode图样本，为下一步瞬态故障诊断打下基础。
一、传递函数的ARMA模型求解
时间序列法属于现代谱分析技术。它将观测到的动态数据（时间序列）视为线性系统在白噪声激励下的响应，从而建立起与原系统等价的时域参数模型。本文根据建立的ARMA模型求出系统的传递函数，再利用Bode图表述齿轮箱系统的动态特性。
ARMA自回归滑动平均模型一般表达式为。
简记为φ（B）xt=θ(B)αt；αt~NID(0，σ2α)
若视αt是输入，xt是输出，那么ARMA模型描述了一个传递函数为θ(B)/φ（B）的系统。由模型可求出单位脉冲响应函数Gj，即时序中的函数Green。系统频率特性函数H(f)为
显然H(f)为Green函数的Fourier变换。此传递函数是在输入为白噪声，输出为振动信号的条件下得到的，实际输入却是齿轮箱的作用扭矩以及外界瞬态干扰。文献提出了虚拟系统这一方法；(2)式模型中除包含实际系统外，还包括一个附加的虚拟系统，当这一虚拟系统与实际系统无公因子存在时，ARMR模型的传递函数是包含实际传递函数分母的。因此，求得的传递函数可以用于表征系统的动态特性。根据AIC定阶准则估计模型的阶数，考虑到齿轮箱系统振动信号的特点以及计算的复杂性，一般取8阶较为合适。
二、传递函数的系统特性分析
实验台布局如图1所示。实验中采样频率为3.2kHz，转速为600r/min，飞轮负载，Z1齿轮30个轮齿，Z2齿轮50个轮齿，输入轴轴承为206型，输出轴轴承为7207型。从单级齿轮箱1号测试点采集到系统正常工作、Z1齿轮断齿、7207型轴承滚珠磨损、206型轴承内圈和外圈裂纹五种工作状态下稳态和瞬态的振动信号。
求出传递函数后，画出各种状态下稳态和瞬态Bode图，经过对近500组振动信号的反复分析比较后，发现在一定比例（80％以上）范围内，同种故障稳态和瞬态的Bode图图像特征一致，故障间的Bode图图像特征有着明显的差异，可以用其代表不同的故障，这样就能直接通过图形的差异识别不同故障。齿轮箱系统各种状况的Bode图图像特征见图2~11。
五种工况下稳态和瞬态的系统Bode图图像特征一致；同种工况的Bode图图像特征近乎一致；各状态之间的图像特征有着明显的差异：正常状态下，幅频图中上升部位有两个峰值转折，且这个部位对应着相频图中的一个峰值；齿轮断齿时，幅频图成“ㄏ”状，而相频图成“厂”字形；轴承滚珠磨损时，幅频图中有一处波谷，对应相频图中一处波峰且都比较平缓；轴承内圈裂纹时，幅频图中有一处波谷，对应相频图中两处峰值；轴承外圈裂纹时，幅频图中三处峰值，对应相频图中一处峰值。可见各种状态的Bode图图像特征十分明显。
三、结论
本文应用时间序列ARMA模型，求出了表征系统特性的Bode图。经过多次实验分析得到如下结论：在一定比例范围内，相同工况下系统稳态和瞬态的Bode图图像特征一致；不同工况下系统Bode图图像特征有着明显的差别。可以利用这一差别进行聚类，判断齿轮箱的工作状态。特别是它可以不考虑输入扭矩波动的影响，对瞬态振动信号也能作故障分析，这就克服了传统故障诊断只能研究稳态信号的局限。该方法应用简单，效果明显，对齿轮箱瞬态故障诊断有着重要的应用价值，同时对其它机械设备的故障诊断也有一定的参考意义。
参考资料：
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