朱铁光，李志强
摘要：机组运行稳定与否对生产与设备安全至关重要，但是目前还没有能定量评价机组运行稳定性的科学方法。本文基于分形理论，提出了机组轴心轨迹稳定性的定量评价指标。实际应用表明，该指标较好地反映了转子运行稳定性的实际状况，为稳定性的定量监测提供了有效手段。
关键词：旋转机械；稳定性；分形维数；轴心轨迹
一、机组运行稳定性的概念及评价方法
旋转机械在运行中，除不平衡离心力等外力作用而发生的受迫振动以外，在转子轴承系统内部，也可能产生强烈的激振因素。例如，滑动轴承油膜会推动转子产生自激涡动，导致转子失稳等等。高速轻载的转子特别容易发生失稳现象。涡动一旦发生，特别是发展为油膜振荡时，机组振动十分剧烈，危害极大。此外，流体激励、管道共振、喘振等都有可能引起转子失稳，产生严重后果。因此，对机组运行稳定性进行合理评估，将有助于及时调整操作，限制失稳的进一步发展，避免更大的经济损失。
转子运行的轴心轨迹，反映了转子的实际运行情况，因此在故障诊断中，可以作为分析机组运行状态和稳定性的一个重要指标。如果轴心轨迹形状简单，重复性较好，则说明转子运行比较稳定。如果轴心轨迹形状复杂，重复性差，或轨迹处于发散状态，则说明转子运行不稳定。因此，轴心轨迹的重复性可从一个侧面反映转子运行的稳定性。
但目前对轴心轨迹重复性的评价还仅仅停留在直观定性的阶段，尚不能满足监测诊断工作的实际需要。本文基于分形理论，提出一种评价轴心轨迹重复性的定量化指标，并将其应用于实际工作中，取得了令人满意的效果。
二、分形理论及分维数计算简介
分形理论是由曼德布罗特于20世纪70年代提出的。所谓分形，就是其组成部分以某种方式与整体相似的形，即分形是一类无规则、混乱而复杂，但其局部与整体有相似性的体系。这样的体系称为自相似性体系，其形成过程具有随机性，维数可以是分数，称为分维Df。
分维是分形论中最重要的概念，分形论是以分维来表征分形客体的特性的。分维可以是整数，也可以是分数。为了明确表达其分数性质，称其为分维。分形的豪斯道夫维数（分维数）大于或等于其拓扑维数。
最基本的分维数计算方法是变尺度法，以曲线的分维数计算为例，它是用不同的尺度λ去度量曲线的长度P，长度λ不同，所得到的曲线长度P也不同，它们之间具有如下关系
Pλ=Cλ1－Df
式中：C为常数，Df为该曲线的分维数。上式两边取对数，得
lnPλ＝（l－Df）lnλ+C
作出lnPλ－lnλ的双对数拟合直线，则直线的斜率m=l－Df，故
Df=1－m
式中：m为负数。
除变尺度法外，BoxCounting法也是最常用的计算分维数的方法之一。其基本思想是首先用边长为l1的格子覆盖在曲线上，设共需N12个格子，其中至少包含一个曲线样本点的格子数目为M1，然后逐渐缩小格子的边长，假设格子边长为l时，至少包含一个曲线样本点的格子数目为M，则M与l之间具有如下关系
M＝Cl－Df
式中：C为常数，Df为该曲线的分维数。上式两边取对数，得
lnM=－Dflnl+C
作出1nM-lnl的双对数拟合直线，直线斜率的绝对值即为该曲线的分维数。
分维数的大小撒于该曲线在空间中所占的规模，亦即空间充满的程度。一条确定的直线，其分维数等于其拓扑维数1.0；白噪声序列产生的曲线，分维数等于2.0；一般的曲线，分维数介于1.0~2.0之间。
三、基于分形维数的稳定性评价指标
机械振动中的亚异步频率分量是影响机组运行稳定性的最主要因素。如果机组运行状态稳定，则转子每转一周，其轴心轨迹应是重合的，或者晃动很小；当机组存在油膜涡动、流体激励等不稳定因素时，会产生亚异步频率分量，致使轴心轨迹的重复性变差，晃动加剧。此时轴心轨迹的分维数也会发生变化，因此可以用分维数的大小来衡量轴心轨迹的稳定性。
虽然用变尺度法和BovCounting法都可以获得轴心轨迹的分维数，但两种方法对同一轴心轨迹的分维数计算结果却经常存在差异。图1、图2分别为两种方法对某机组运行轴心轨迹分维数的计算结果，分维数分别为1.298和1.583。究竟哪种方法的计算结果最能反映轴心轨迹的稳定性呢？为此，本文进行了模拟试验分析。
图1变尺度法的分维数计算结果
图2BoxCounting法的分维数计算结果
轴心轨迹的晃动程度可用晃动幅值和晃动圈数两个参数简化地表示。图3是分维数随轨迹晃动幅值A变化的关系曲线。由图可见，随着晃动幅值的增大，BoxCounting法计算出的分维数也逐渐增大，而变尺度法的计算结果则几乎没有变化。因此BoxCounting法对轨迹晃动幅值的变化较敏感，而变尺度法则不敏感。
图4是分维数随轨迹晃动圈数n而变化的关系曲线。由图可见，BoxCounting法计算出的分维数对轨迹晃动的圈数也较为敏感，而变尺度法仍不敏感。
图3分维数与轴心轨迹晃动幅值之间的关系
图4分维数与轴心轨迹晃动圈数之间的关系
因此，用BoxCounting法计算出的分维数，能较好地反映轴心轨迹的晃动程度（虽然变尺度法计算的分维数不能反映轴心轨迹晃动的严重程度，但它可以表示轨迹的复杂程度及噪声干扰程度），轨迹的晃动幅值越大，晃动圈数越多，则轴心轨迹的分维数越大。因此，BoxCounting法计算出的分维数可用来衡量轴心轨迹的稳定性。
因为轴心轨迹的分维数介于1.0~2.0之间，为E越小，说明轨迹的稳定性越好，反之则表明轨迹的稳定性差。
四、应用实例
图5、6、7分别是某石油气压缩机组三个不同运行时刻的轴心轨迹和分维数计算结果。
图5气压机的轴心轨迹及分形维数
图6气压机的轴心轨迹及分形维数
图7气压机的轴心轨迹及分形维数
图5对应的频谱上，振动能量基本集中在工频及二倍频上，虽然存在0.81X的分频成分，但其幅值很小，此时轴心轨迹比较稳定，晃动幅度不大，计算出的分维数为1.387。
图6对应的频谱上，工频及其倍频的幅值在频谱中所占的比重与图5基本相同，但分频成分0.81X的幅值有了一定的增长，并且出现了新的分频成分0.19X和0.38X，此时轨迹的晃动幅值有了明显增加，这说明机组运行中的不稳定因素有了一定的扩展，相应的轨迹分维数为1.543。
图7中，分频成分0.81X、0.19X、0.38X的幅值比图6有很大增加，轴心轨迹的晃动幅值增长显著，这说明机组运行已经很不稳定，此时的轨迹分维数为1.615。
由以上分析可见，随着影响机组运行稳定性的分频幅值的增加，轴心轨迹的重复性越来越差，相应的分维数越来越大，因此分维数较好地表明了转子的稳定性。
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