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一个具有两种二元运算的代数系统。设在集合R中已定义了加法与乘法，而R在加法下是一个交换群,且乘法对加法有分配律，则R称为一个非结合环。此时R中就有惟一的零元素θ，使得对α∈R恒有α+θ=α；R中每个α有惟一的负元素-α,使α+(-α)=θ,可简记α+(-b)为α-b。分配律可推广为：α(b±с)=αb±αс，(b±с)α=bα±сα；用数学归纳法可证
data/attachment/portal/201111/06/0938371hyzv89nnbm5tm8n.gif在非结合环R中恒有：αθ=θα=θ；α(-b)=(-α)b=-αb；(-α)(-b)=αb；(nα)b=α(nb)=nαb,其中α、b为R中任意元素，n为任意整数。如果非结合环R还具有性质:α2=θ（α∈R），且雅可比恒等式成立，即在R中恒有(αb)с+(bс)α+(сα)b=θ，那么R称为一个李环。如果非结合环R的乘法适合交换律，且在R中恒有
【(αα)b】α=(αα)(bα)，那么R称为一个若尔当环。在非结合环的研究中,李环与若尔当环是内容最丰富的两个分支。如果非结合环R的乘法适合结合律，那么R称为一个结合环或环。如果在环R中再规定如下的一个新乘法“。”（称为换位运算）：α。b=αb-bα，那么R对原来的加法与新有的乘法是一个李环；若规定的新乘法为“·”（称为对称运算）:α·b=αb+bα，则R便成一个若尔当环。
设S是非结合环R的一个非空子集，若对于R的加法与乘法，S也构成一个非结合环，则S称为R的一个子环。一个真正的非结合环（即其中有三个元素在相乘时不适合结合律）的一个子环，有可能是一个结合环。非结合环R的若干个子环的交，仍是R的一个子环。当T为R的一个非空子集时，R中所有含T的子环的交显然是R中含T的最小子环,称之为R的由T生成的子环。如果非结合环R中任意三个元素生成的子环恒为结合环,那么R已经是一个结合环；如果R中任意两个元素生成的子环恒为结合环,那么R称为一个交错环;如果R中任意一个元素生成的子环恒为结合环,那么R称为一个幂结合环。在幂结合环中，第一、第二指数定律即data/attachment/portal/201111/06/093838ojuoxaxg7nnvjats.gifdata/attachment/portal/201111/06/0938380yv4hhncxyywohz2.gif恒成立。如果一个交错环的乘法还适合交换律，那么它称为一个交错交换环。在交错交换环中，不仅有第一、第二指数定律成立，而且有第三指数定律即data/attachment/portal/201111/06/093838v966zvowotvow9e9.gif成立；还有二项式定理。
结合环与交换环的典型例子如:F上的n阶全阵环,即数域（或域）F上的所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘法下构成的一个环。V的完全线性变换环，即F上的一个向量空间V的全部线性变换在变换的加法与乘法下构成的一个环。F上的多项式环，即F上一个或若干个文字的多项式全体构成的一个交换环。整数环，即全体整数构成的一个交换环；全体偶数构成它的一个子环，称为偶数环。R上的n阶全阵环,即在任意一个环R上的全部n阶矩阵,对于仿通常矩阵的运算定义的加法与乘法构成的环，记为Rn。【0,1】上的全实函数环，即定义在区间【0,1】上的全部实函数，对于函数的加法与乘法构成的一个交换环。整数模n的环R奱，即模n剩余类，对于剩余类的加法和乘法构成的一个交换环。它是只含有限个元素的交换环的典型例子。
若一个环R中含有一个非零元素e≠θ，使对每个x∈R有ex=xe=x,则e称为R的一个单位元素。一个环若有单位元素,则它必然是惟一的。设R是一个含有单位元素的环,α是R中一个元素,若R中有元素b,使αb=bα=e,则b称为α的一个逆元素。当α有逆元素时,其逆元素必然是惟一的,记为α-1,α-1也有逆元素,而且就是α,即(α-1)-1=α。R的零元素θ必无逆元素。若R的每个非零元素都有逆元素,则R称为一个体或可除环。四元数代数就是典型的体。在体的定义中再规定其乘法适合交换律，就是域的定义。
理想设S是环R的一个非空子集，所谓S是R的一个左理想，意即①S是R作为加法群时的一个子群；②当α∈S,x∈R时,则xα∈S。若有αx∈S,则S称为R的右理想。如果S既是R的左理想，又是R的右理想,则称S是R的一个理想。例如,{θ}是环R的一个理想。设l1、l2都是环R的左理想。R中所有的元素α+b(α∈l1,b∈l2)作成R的一个左理想,并称之为l1与l2的和,记为l1+l2。R中所有的有限和data/attachment/portal/201111/06/093839yb3hbigoip5xxdbx.gif作成R的一个左理想,称为R的左理想l1与l2的积,记为l1l2。易知R的左理想的加法适合交换律与结合律；R的左理想的乘法适合结合律且对加法有分配律。对于R的右理想的加法与乘法也有类似结果。由于左理想与右理想的对称性,因此以下关于左理想的讨论,对于右理想也适合。环R的两个左理想的和的概念可以推广成若干(有限或无限)个左理想li的和data/attachment/portal/201111/06/093839yyjj2uz4mkxa4cx5.gifli，它是由所有的有限和data/attachment/portal/201111/06/093839c6q7lmemm87hfj7k.gif所构成的。如果这些li均非零,而且在data/attachment/portal/201111/06/093839yyjj2uz4mkxa4cx5.gifli中每个元素α=data/attachment/portal/201111/06/093839yyjj2uz4mkxa4cx5.gifαi的表法是惟一的，那么R的这组左理想li(i∈i)称为无关的。环R的两个左理想的积的概念可以推广成任意有限多个左理想l1，L2,…，ln的积l1l2…ln。特别，当这些li都是R的同一个左理想L时，此积简记为ln。设T是环R的一个非空子集。R中有元素α,它能从左边去零化T中每个元素即αT=｛αt|t∈T｝是｛θ｝,例如R中的零元素θ就是这样一个元素。R中所有这种元素作成R的一个左理想,称为T在R中的左零化子，或R中的一个左零化子。
如果环R的任意一组左理想中恒存在极小的左理想，那么环R称为满足左极小条件,或降链条件。所谓极小左理想,是指一组左理想中的一个左理想,它不能真正的包含组中任何左理想。同理可定义环R的左极大条件(或升链条件)以及环R的左零化子的极小与极大条件。由于环R的左零化子仅仅是R的一类特殊的左理想，所以环R的左零化子的极小与极大条件,分别弱于R的左极小与左极大条件。若环R满足左极大条件，则R中左理想的任何无关组必为有限的。满足左极小条件的环又称为左阿廷环；满足左极大条件的环又称为左诺特环；一个环满足条件：①它的左理想的任何无关组恒为有限的；②它的左零化子满足极大条件，称为左哥尔迪环。由上述可知，左诺特环恒为左哥尔迪环。
设N是环R的一个理想。首先,R作为一个(交换)加法群时，则N就是群R的一个正规子群。N在R中的全部陪集对于陪集的加法(α+N)+(b+N)=(α+b)+N作成一个(交换)加法群。其次,规定(α+N)(b+N)=αb+N,这与陪集的代表元素α、b的取法无关。易知陪集的这种乘法，适合结合律且对加法有分配律。于是就得到一个环，并称之为环R关于其理想N的剩余类环，记为R/N。它与环R有同态关系。所谓同态，是指对于两个环R1、R2,有一个从R1到R2上的映射σ：R1→R2，使对任意α·b∈R1恒有σ(α+b)=σ(α)+σ(b),σ(αb)=σ(α)σ(b)。R2是R1在σ下的同态像,记为data/attachment/portal/201111/06/0938390skrfrrsrqbburkd.gif。对任意环R及其任意理想N,只要定义σ(α)=α+N就得到R到R/N上的一个同态映射,特称之为自然同态映射。如果环R1到环R2上的一个同态映射σ，又是一一映射,那么σ称为同构映射,记为data/attachment/portal/201111/06/093840amxc9qpait9lria2.gif。可以证明,如果σ是环R到环R′上的一个同态映射，那么R中所有满足σ(α)=θ′∈R′的元素构成R的一个理想N，称为σ的核，且有R/N≌R′；如果环R满足左极小（或极大）条件，那么其任意同态像亦然。
设l是环R的一个左理想，如果有正整数n使ln={θ}，那么l称为幂零的。如果对l中每个元素α恒有正整数n(α)使data/attachment/portal/201111/06/093840y6p8rmz6881yq7lk.gif,那么l称为诣零的。显然幂零左理想必为诣零左理想,但反之则未必。对R的右理想也有相应的定义。如果P是环R的一个理想,而对R的任意两个理想A、B，只要AB嶅P，就必有A嶅P或B嶅P,则P称为R的一个质理想或素理想。如果环R的零理想｛θ｝是R的一个质理想，那么R称为一个质(素)环。如果环R除｛θ｝外不再含其他的幂零理想，那么R称为一个半质(素)环。质环恒为半质环，但反之则未必。
结构理论设R1,R2,…,Rm均为环R的非零子环。如果R的每个元素α均可惟一地表为data/attachment/portal/201111/06/093840x1cvovhvshkv2ukv.gif，且当i≠j时恒有data/attachment/portal/201111/06/093843z89nopvzfvnen9vq.gif,那么R称为R1，R2,…,Rm的环直接和(或简称直和),记为data/attachment/portal/201111/06/093844rf3rfix3rrc97f9i.gifdata/attachment/portal/201111/06/093844zuvifxfu5nnqvv2o.gif。此时诸Ri均必为环R的理想且R满足左极小（极大）条件，必要而且只要诸Ri均然。当一个非零的环不能表为两个以上的非零子环的环直接和时，则称之为不可分环。例如非零的单纯环(即除｛θ｝与自身外不再含其他理想的环)就是不可分环。
一个非零的环R为左阿廷质环,必要而且只要有体K使data/attachment/portal/201111/06/093844o7hzz9ios77om74s.gif。此时若又有体T使data/attachment/portal/201111/06/093844px72z0fxx0qc202j.gif,则必有T≌K,m=n。这样的环必为单纯环，又称为阿廷单纯环。一个非零的环为左阿廷半质环，必要而且只要它是有限个阿廷单纯环的环直接和。这样的环又称为阿廷半单纯环。一个阿廷半单纯环为不可分环，必要而且只要它是阿廷单纯环。以上结果统称为韦德伯恩-阿廷结构定理。设R是任意一个左阿廷环,于是R的诣零左、右理想恒为幂零的;R的所有幂零左理想的和又等于R的所有幂零右理想的和,从而这个和N是R的惟一最大幂零理想,称为R的根,而且当N