anindefiniteintegral
不定积分是积分学的基本问题之一，是由一个函数的已知数（或微分），去求原来的函数。
目录
概念
性质
基本积分公式
证明方法
换元积分法
分部积分法
有理函数的积分
概念
data/attachment/portal/201111/06/094004nshtck77f71wswn7.jpg
不定积分
设F（x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)C。
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
由定义可知：
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。
性质
1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；
data/attachment/portal/201111/06/094004upbvpwpuubheszqu.jpg
不定积分
即：data/attachment/portal/201111/06/0940054kq44xkl2zehhr41.jpg
2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，
即：data/attachment/portal/201111/06/094005uo7ovqlbfvirzp9o.jpg
基本积分公式
data/attachment/portal/201111/06/094006gshngpyp2svngcyi.jpg
证明方法
换元积分法
一、第一类换元法
data/attachment/portal/201111/06/094006v7e9tneslsjl59nk.jpg
二、第二类换元法
第二类换元法的变换式必须可逆。
data/attachment/portal/201111/06/094007rwjxkkie4p11s214.jpg
1.根式代换法
data/attachment/portal/201111/06/094009vpfpy6b7obf1qcf6.jpg
三角代换法
2.三角代换法
分部积分法
一、分部积分公式
设函数data/attachment/portal/201111/06/0940091z823727yrik47jn.jpg和data/attachment/portal/201111/06/094009eauebufo8of4fu9o.jpg具有连续导数，则data/attachment/portal/201111/06/094010eq9dnss7esddi5ww.jpg。移项得到data/attachment/portal/201111/06/09401175iivetty51wcqy7.jpg两边积分，得data/attachment/portal/201111/06/094011z5qxe9aehe20hugg.jpg（1）称公式(1)为分部积分公式．如果积分data/attachment/portal/201111/06/094011bu7kdby784p7z2te.jpg易于求出，则左端积分式随之得到．为简易起见，把(1)写成下面的形式：data/attachment/portal/201111/06/09401177fmzui4mi744485.jpg（2）
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v
一般来说，u,v选取的原则是：
1）积分容易者选为v（2）求导简单者选为u
分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。
有理函数的积分
有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分．
理论上已证明，任何真分式总能分解为部分分式之和，分解方法如下：设data/attachment/portal/201111/06/094012coo9388c6ow8ud39.jpg（1）为真分式．多项式Q（x）总能在实数范围内分解为一次式和二次质因式的乘积，不妨设data/attachment/portal/201111/06/094012iqh9fwsqhxzsv85f.jpg，其中data/attachment/portal/201111/06/094016q8scmllo37lgo137.jpg于是真分式（1）必能分解为如下形式的部分分式之和：data/attachment/portal/201111/06/0940179jj3qz8iupppz3zx.jpg（2）
其中Ai，…，Bi，Mi，Ni，Ri及Si等都是常数．
注(1)分母中Q(x)中如果有因式data/attachment/portal/201111/06/094017ggy4lm0t492mympy.jpg那么分解后有下列k个部分分式之和：data/attachment/portal/201111/06/094017os8ddad0halbnwom.jpg，其中阿Ai(i=1，，k)都是常数．特别地，如果k=1，则分解后有data/attachment/portal/201111/06/09401744s74u4hh2y1o6js.jpg。(2)分母Q（x）中如果有因式(x2+px+q)k，其中p2-4q