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积分方程
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积分方程
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积分号下含有未知函数的方程。其中未知函数以线性形式出现的，称为线性积分方程；否则称为非线性积分方程。
积分方程起源于物理问题。牛顿第二运动定律的出现，促进了微分方程理论的迅速发展，然而对积分方程理论发展的影响却非如此。1823年，N.H.阿贝尔在研究地球引力场中的一个质点下落轨迹问题时提出的一个方程，后人称之为阿贝尔方程，是历史上出现最早的积分方程，但是在较长的时期未引起人们的注意。“积分方程”一词是P.duB.雷蒙德于1888年首先提出的。19世纪的最后两年，瑞典数学家（E.）I.弗雷德霍姆和意大利数学家V.沃尔泰拉开创了研究线性积分方程理论的先河。从此，积分方程理论逐渐发展成为数学的一个分支。
1899年，弗雷德霍姆在给他的老师（M.）G.米塔－列夫勒的信中，提出如下的方程
data/attachment/portal/201111/06/094118141ry1ljexv8jp41.gif,(1)式中φ（x）是未知函数；λ是参数，K（x，y）是在区域0≤x，y≤1上连续的已知函数；ψ(x)是在区间0≤x≤1上连续的已知函数。并认为方程（1）的解可表为关于λ的两个整函数之商。1900年，弗雷德霍姆在其论文中把（1）称为“积分方程”,并初次建立了K（x,y）的行列式D(λ)和D（x,y,λ）,证明了它们都是λ的整函数,以及当λ是D(λ)的一个零点时,则(1)的齐次方程φdata/attachment/portal/201111/06/094119rkhrfbs237k7u2f7.gif有不恒等于零的解。1903年，他又指出，若行列式D(1)≠0,则有一个且只有一个函数φ(x)满足方程(1)(λ=1)，此时φ(x)可表为
data/attachment/portal/201111/06/0941199bobog6okwkkbk5p.gif从此，积分方程理论的发展进入了一个新的时期。以下形式的积分方程
data/attachment/portal/201111/06/094122npix8x484r9gkn5g.gif,(2)
data/attachment/portal/201111/06/094152yypzhpc7thtpy7ys.gif,(3)
data/attachment/portal/201111/06/094152g9ug9j6sgyzzgqvt.gif,(4)分别称为第一种、第二种、第三种弗雷德霍姆积分方程，其中K(x,y)是在区域α≤x、y≤b上连续的已知函数,称为方程的核;A(x)、ψ(x)都是在区间α≤x≤b上连续的已知函数，φ(x)是未知函数，λ是参数。
第一、二种弗雷德霍姆积分方程是第三种弗雷德霍姆积分方程的特殊情形。但是，第一种方程与第二种方程却有本质上的区别。
与弗雷德霍姆几乎同时，沃尔泰拉研究了如下形式的积分方程
data/attachment/portal/201111/06/094153c53bh51f145q1ehj.gif(5)
data/attachment/portal/201111/06/094153os8sowo8q8vlolpl.gif,(6)
data/attachment/portal/201111/06/094200ntl4ie3ngltlt9oo.gif,(7)分别称为第一种、第二种、第三种沃尔泰拉积分方程，式中λ、φ(x)、ψ(x)和A(x)如前所述,K(x,y)是定义在三角形区域α≤y≤x≤b上的已知连续函数。弗雷德霍姆积分方程中的核K(x,y)当x