名称定义
变分法（calculusofvariations）是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
目录
变分法的定理
数学物理与变分法
大范围变分法
变分法的定理
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。
同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工，称为Plateau问题。
最优控制的理论是变分法的一个推广。
数学物理与变分法
物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。
物理学中的变分原理P.de费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。拉格朗日把变分法用到动力学上。他引进广义坐标q1,q2,…,qn，假定动能T是q=(q1,q2,…,qn)和孭=(孭1,孭2,…,孭n)的函数,孭表示。他又假定力有位势V，V是q的函数,又假定T+V是常量,即能量守恒定律成立,令L=T-V，称为作用量，拉格朗日的最小作用原理是说真实的运动使作用量取极小值。通过欧拉方程，拉格朗日建立他的运动方程，据此推出了力学的主要定律，并解决了一些新的问题。这些工作都记载在他在1788年出版的《分析力学》一书中。
大范围变分法
18世纪是变分法的草创时期，建立了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。19世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中去，建立了极值函数的充分条件。20世纪伊始，希尔伯特在巴黎国际数学家大会讲演中提到的23个著名数学问题中就有三个与变分法有关，变分法的思想贯穿了R.库朗和希尔伯特所著的《数学物理方法》一书。而H.M.莫尔斯的大范围变分法则是20世纪变分法发展的标志(见莫尔斯理论)。
《变分法》教学大纲编辑本段
《变分法》教学大纲
课程编码：07141001
课程名称：变分法
英文名称：CalculusofVariations
开课学期：第6学期
学时/学分：30/1.5（其中实验学时：0学时）
课程类型：学位基础选修课
开课专业：机械科学与工程学院工程力学专业
选用教材：讲稿
主要参考书：《弹性力学》徐芝纶编著高等教育出版社
《弹性和塑性力学的变分法》鹫津久一郎著
《广义变分原理》钱伟长著
执笔人：周振平
课程性质、目的与任务
《变分法》是工程力学专业本科生的专业课之一，是选修课，是《弹性力学》课程提高和延伸部分。用广泛的变分方法来解决弹性力学的边值问题，建立了弹性力学的几个变分原理，从这些变分原理出发，用一致的方法导出各种类型弹性力学的平衡方程。变分原理为各种近似解奠定了理论基础，是从事固体力学研究人员必备的专业理论，为进一步学习有限元理论，塑性力学等提供了必要的理论基《变分法》教学大纲