基数

  仪器信息网 ·  2009-09-04 08:48  ·  27921 次点击
基数(数学)
在数学上,基数(cardinalnumber)也叫势(cardinality),指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应,是两个对等的集合。根据对等这种关系对集合进行分类,凡是互相对等的集合就划入同一类。这样,每一个集合都被划入了某一类。任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数,记作(或|A|,或cardA)。这样,当A与B同属一个类时,A与B就有相同的基数,即。而当A与B不同属一个类时,它们的基数也不同。即。如果把单元素集的基数记作1,两个元素的集合的基数记作2,等等,则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致。空集?的基数也记作σ。于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数”。但是,对于无穷集,传统概念没有个数,而按基数概念,无穷集也有基数,例如,任一可数集(也称可列集)与自然数集N有相同的基数,即所有可数集是等基数集。不但如此,还可以证明实数集R与可数集的基数不同,即。所以集合的基数是个数概念的推广。基数可以比较大小。假设A,B的基数分别是a,β,即=a,=β,如果A与B的某个子集对等,就称A的基数不大于B的基数,记作a≤β,或β≥a。如果a≤β,但a≠β(即A与B不对等),就称A的基数小于B的基数,记作a<β,或β>a。基数可以进行运算。设=a,=β,且A∩B=,则规定为a与β之和记作=a+β。设=a,=β,A×B为A与B的积集,规定为a与β的积,记作=a·β。

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