目录
概述
理论起源
基本内容
理论步骤
理论优势
理论局限性
理论应用
图示解析
概述
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突变理论研究的是从一种稳定组态跃迁到另一种稳定组态的现象和规律。它指出自然界或人类社会中任何一种运动状态，都有稳定态和非稳定态之分。在微小的偶然扰动因素作用下，仍然能够保持原来状态的是稳定态；而一旦受到微扰就迅速离开原来状态的则是非稳定态，稳定态与非稳定态相互交错。非线性系统从某一个稳定态（平衡态）到另一个稳定态的转化，是以突变形式发生的。突变理论作为研究系统序演化的有力数学工具，能较好地解说和预测自然界和社会上的突然现象，在数学、物理学、化学、生物学、工程技术、社会科学等方面有着广阔的应用前景。
突变理论是用形象的数学模型来描述连续性行动突然中断导致质变的过程，这一理论与混沌理论（ChaosTheory）相关，尽管它们是两个完全独立的理论，但现在突变理论被普遍视作为混沌理论的一部分。
尽管突变理论是一门数学理论，它的核心思想却有助于人们理解系统变化和系统中断。如果系统处于休止状态（也就是说，没有发生变化），它就会趋于获得一种理想的稳定状态，或者说至少处在某种定义的状态范围内。如果系统受到外界变化力量作用，系统起初将试图通过反作用来吸收外界压力。如果可能的话，系统随之将恢复原先的理想状态。如果变化力量过于强大，而不可能被完全吸收的话，突变（CatastrophicChange）就会发生，系统随之进入另一种新的稳定状态，或另一种状态范围。在这一过程中，系统不可能通过连续性的方式回到原来的稳定状态。
试举一例，更为形象地解释这一理论。让人们假想有一只玻璃瓶放在桌面上，它处在一个稳定的状态，没有任何变化，此为稳定平衡（StableEquilibrium）。现在假想用你的手指轻推瓶颈，不要太用力。这时变化产生，玻璃瓶晃动起来，它在通过一种连续性的方式来吸收变化，此为不稳定平衡（UnstableEquilibrium）。如果你停止推力，玻璃瓶将恢复到它的理想稳定状态。然而，如果你继续用力推下去，在你的推力达到一定程度的时候，玻璃瓶便会倒下，由此又进入了一种新的稳定平衡状态。玻璃瓶的状态在这一瞬间就发生了突变，一个非连续性的变化就这样产生了：在玻璃瓶下跌的过程中，没有任何可能的稳定中间状态，直到它完全倒伏在桌面上为止。
Thorn的突变理论意味着，系统变化是通过连续性的和非连续性的两种变化模式来实现的。这一过程与混沌理论相关之处在于，玻璃瓶只存在两种状态——要么站立，要么躺倒。这两种状态也就是可能的结果池（OutcomeBasins），参见：混沌理论。然而，还有一些状态永远不可能被达到，因为它们具有内在的不稳定性。
七种初等突变：折迭型突变（FoldCatastrophe）、尖点型突变（CuspCatastrophe）、燕尾型突变（SwallowtailCatastrophe）、蝴蝶型突变（ButterflyCatastrophe）、双曲型脐点（HyperbolicUmbilic）、椭圆型脐点（EllipticUmbilic）和抛物型脐点（ParabolicUmbilic）。突变理论的次级应用研究包括：歧变理论（BifurcationTheory）、非平衡热力学（NonequilibriumThermodynamics）、奇点理论（SingularityTheory）、协同论（Synergetics）及拓扑热力学（TopologicalDynamics）等。
理论起源
data/attachment/portal/201111/06/1155435utl1wu6qzuqqjol.jpg突变理论
现在被视为ChaosTheory混沌理论一部分的突变理论，起源于20世纪60年代末。1972年，法国数学家RenéThom发表著作对这一理论进行了独立且系统的阐述。他的这部著作名为：《结构稳定性和形态发生学》（StructuralStabilityandMorphogenesis），Thom希望能够籍此预测复杂无序的系统变化行为。20世纪70年代，英国数学家E.C.Zeeman对突变理论的发展应用做了进一步的研究。
许多年来，自然界许多事物的连续的、渐变的、平滑的运动变化过程，都可以用微积分的方法给以圆满解决。例如，地球绕着太阳旋转，有规律地周而复始地连续不断进行，使人能及其精确地预测未来的运动状态，这就需要运用经典的微积分来描述。但是，自然界和社会现象中，还有许多突变和飞跃的过程，飞越造成的不连续性把系统的行为空间变成不可微的，微积分就无法解决。例如，水突然沸腾，冰突然融化，火山爆发，某地突然地震，房屋突然倒塌，病人突然死亡……。
这种由渐变、量变发展为突变、质变的过程，就是突变现象，微积分是不能描述的。以前科学家在研究这类突变现象时遇到了各式各样的困难，其中主要困难就是缺乏恰当的数学工具来提供描述它们的数学模型。那么，有没有可能建立一种关于突变现象的一般性数学理论来描述各种飞跃和不连续过程呢？这迫使数学家进一步研究描述突变理论的飞跃过程，研究不连续性现象的数学理论。1972年法国数学家雷内·托姆在《结构稳定性和形态发生学》一书中，明确地阐明了突变理论，宣告了突变理论的诞生。
基本内容
突变理论主要以拓扑学为工具，以结构稳定性理论为基础，提出了一条新的判别突变、飞跃的原则：在严格控制条件下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程。比如拆一堵墙，如果从上面开始一块块地把砖头拆下来，整个过程就是结构稳定的渐变过程。如果从底脚开始拆墙，拆到一定程度，就会破坏墙的结构稳定性，墙就会哗啦一声，倒塌下来。这种结构不稳定性就是突变、飞跃过程。又如社会变革，从封建社会过渡到资本主义社会，法国大革命采用暴力来实现，而日本的明治维新就是采用一系列改革，以渐变方式来实现。
对于这种结构的稳定与不稳定现象，突变理论用势函数的洼存在表示稳定，用洼取消表示不稳定，并有自己的一套运算方法。例如，一个小球在洼底部时是稳定的，如果把它放在突起顶端时是不稳定的，小球就会从顶端处，不稳定滚下去，往新洼地过渡，事物就发生突变；当小球在新洼地底处，又开始新的稳定，所以势函数的洼存在与消失是判断事物的稳定性与不稳定性、渐变与突变过程的根据。托姆的突变理论，就是用数学工具描述系统状态的飞跃，给出系统处于稳定态的参数区域，参数变化时，系统状态也随着变化，当参数通过某些特定位置时，状态就会发生突变。
突变理论提出一系列数学模型，用以解是自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程，描述各种现象为何从形态的一种形式突然地飞跃到根本不同的另一种形式。如岩石的破裂，桥梁的断裂，细胞的分裂，胚胎的变异，市场的破坏以及社会结构的激变……。按照突变理论，自然界和社会现象中的大量的不连续事件，可以由某些特定的几何形状来表示。托姆指出，发生在三维空间和一维空间的四个因子控制下的突变，有七种突变类型：折迭突变、尖顶突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐突变、椭圆脐形突变以及抛物脐形突变。
例如，用大拇指和中指夹持一段有弹性的钢丝，使其向上弯曲，然后再用力压钢丝使其变形，当达到一定程度时，钢丝会突然向下弯曲，并失去弹性。这就是生活中常见的一种突变现象，它有两个稳定状态：上弯和下弯，状态由两个参数决定，一个是手指夹持的力(水平方向)，一个是钢丝的压力(垂直方向)，可用尖顶突变来描述。尖顶突变和蝴蝶突变是几种质态之间能够进行可逆转的模型。自然界还有些过程是不可逆的，比如死亡是一种突变，活人可以变成死人，反过来却不行。这一类过程可以用折迭突变、燕尾突变等时函数最高奇次的模型来描述。所以，突变理论是用形象而精确的得数学模型来描述质量互变过程。
英国数学家奇曼教授称突变理论是“数学界的一项智力革命——微积分后最重要的发现”。他还组成一个研究团体，悉心研究，扩展应用。短短几年，论文已有四百多篇，可成为盛极一时，托姆为此成就而荣获当前国际数学界的最高奖——菲尔兹奖。
理论步骤
突变理论广泛应用于变革管理和组织发展领域。有一种变化形式是平滑的、持续的和递增的。业务流程改进的一系列创意多遵循这一变化模式，例如改善(Kaizen)、全面质量管理(TotalQualityManagement)及六西格玛SixSigma。用突变理论术语来说，就是一种基于现有稳定界面的的预设变化。
还有一种变化形式则是灾难性的、突发的、激进的，彻底背离变化前的状态。这种变化结果往往是业务流程重组(BusinessProcessReengineering)这类剧烈的变革行为造成的。这种类型的变化是“非连续的”，用突变理论术语来说，它是全新定义另一个稳定状态的突变。
因此，“真正的”的变化更类似于企业流程重组这样的剧烈变革，此外，当然也还有简单的变革，采用什么样的变革取决于具体问题的需要。变革专家所面对的挑战正在于此，他们必须能够决定何时需要激进变革，而何时又该执行渐进变革。做出正确选择并不容易，因为激进变革必然导致组织经历一段时期的“混乱无序”，在此之后，新的稳定状态才能被发现和定义下来。这就得用到变革管理中的融冻法（Unfreezing/FreezingMethod）。有些情况下，组织会被强加以激进变革。而且，现实中可能根本就不存在那么一条“从哪里来，到哪里去”的清晰路径，引领组织持续渐进变革。在这种情况下，假设的变革路线也就毫无意义。
理论优势
data/attachment/portal/201111/06/11554329vxmzglm849s49x.jpg突变理论
1、突变理论有助于认识变革管理的真实面貌、理解混沌理论的思想观点。它揭示了为什么真正的变革是一项危险活动。
2、突变理论打断了“组织能够基于多样化的价值频谱表现出各种形态”的念头，大概只存在几个有限的真正意义上的稳定组织形态。
3、突变理论同样揭示了为什么变革不可以被“管理”，而只能被“影响”。
4、理论应付“形式”形式的思想(Gestalt格式塔理论)和变动。它开创了认识组织的新视角。
理论局限性
1、从认识组织行为的角度来看，Thom的研究工作的意义目前更多地体现在定性分析上，而非定量分析。
2、即便是预测最简单的系统行为，仍然具有挑战性。
3、Thorn的研究工作未能涉及具有多个（5个以上）重要变量的复杂系统，也许根本就不可能对复杂系统（或组织）行为进行预测。
理论应用
1．托姆的突变论与德弗里斯的突变进化论
企业自身成长中的不确定性和经营环境的不确定性，突如其来的失败或萎缩成为时代的特征，这使得人们越来越倾向于从系统论的角度，将企业视为非线性系统和复杂系统，并应用非线形系统理论分析企业发展的规律，探讨企业演化的模式和与环境的互动关系。20世纪60年代，随着系统论的兴起，系统管理理论引起管理学者和企业家的广泛关注。孔茨（Koontz）认为，“不论是管理著作，还是从事实务的主管人员，都不应该忽视系统方法”，斯科特（Scott）则将系统理论的引入看作是管理理论有别于传统企业发展理论的真正革命。
系统论主要有三大思想体系：耗散结构理论、协同论和突变理论。其中，突变理论可以为组织提供一系列关于组织发展过程中不确定性对其影响的系统分析。谈到突变论时，有必要指出早于托姆的德弗里斯以及他的突变进化论。多年以来，如何看待世界，存在两种截然对立的观点，达尔文主要从“渐变”或“连续性”的角度考察世界，认为自然界的演变是十分缓慢的，这种“渐变论”是当时学术界的主导思想。然而，19世纪末，以达尔文进化论为基础的连续变异进化观，既无法解释古生物学中大量存在的“化石断层”现象，亦无从说明变异的遗传本质，正是在这一背景下，荷兰植物学家雨果·德弗里斯(HugoDeVries，1848-1935)建立了以“物种的突发产生”为主要内容的进化学说突变论。他在1889年出版了《细胞内泛生论》，以批判的眼光回顾了以前在遗传方面的研究，提出了细胞核的成分“泛生子”（Pangenes）决定遗传特性。1901-1903年，他撰写出版了《突变论》一书，集中阐述了他的生物突变论思想。德弗里斯证明，达尔文强调的那种微小变异不是形成新物种的真正基础，物种起源主要是通过跳跃式的变异—“突变”来完成的。他解答了达尔文学说中许多使人迷惘的问题，回击了一些人对进化论的攻击，从而使达尔文进化论向前推进了一大步。德弗里斯还给出了生物突变的主要特性。它们包括：
(1)突变的突发性。新的基本种可不经过任何中间阶段而突然出现；在进化过程中，突变体的产生无法预见，新突变体一旦出现，就“具有新型式的所有性状”；
(2)突变的多向性。新的基本种突变的形成，是在所有的方向上发生的，所有的器官几乎在所有可能的方向上都会发生变化；
(3)突变的稳定性和不可逆性。从新的基本种产生的时刻起，通常是完全稳定的。突变一旦产生，就能稳定地遗传给后代，它不具有“逐渐返回其起源形式的倾向”，这种不可逆性可导致突变体直接形成一个新物种；
(4)突变的周期性。突变是周期性出现的，不管研究的材料及其性质是什么，突变出现的几率是有规律可寻。如月见草(正常型)的7个变种出现的几率为1％-3％；
(5)突变的随机性。突变可发生在生物体的任一部位，突变的发生与外界条件影响之间，新的性状同个体的变异性之间，没有什么特殊的联系。
德弗里斯和托姆的突变论观点具有普遍的意义，它转换了人们认识的角度，使人们可以用非连续进化观，进人一个迥异于连续性进化观的世界，从而成为当今世界上应用极为广泛的现代方法论之一。同时，突变论作为一门着重应用的科学，既可以用在“硬”科学方面，又可以用于“软”科学方面。特别地，对洞察企业发展的演化过程，把握企业发展的规律，指导企业的经营实践，具有重要的方法论意义和启示作用。
2．反梯度推移与突变型再造和创新
企业在制定决策的时候，往往会碰到这样的两难抉择：到底应该对原来的技术进行改进，还是要研发新的技术来替代？或者更一般地，企业在推行变革、再造和创新的时候，是渐进式的还是突变式的？是改良还是改革？大体而言，企业往往偏好在其熟悉的、更接近现有技术的基础上进行技术创新，在成熟的技术上不断改进。涉及企业改革时亦大致如此，很多情况下大家会力主和风细雨式的渐进变革。这种想法占上风的理由似乎很充足：企业发展要求稳，稳健发展，切忌急功近利、急躁冒进，避免出现大幅变化的“巨涨落”；要稳中求变，一步一步变化，从量变到质变，稳扎稳打，凡事要控制在平衡态，不可操之过急，否则会欲速则不达，甚至哗变。再则，还有路径依赖一说，即事物演化对其发展道路和适用规则的选择有依赖性，一旦选择了某种道路就很难改弦易辙。
然而，对改良式技术创新和渐进式变革的负面问题要有充分的认知。改良型技术创新虽然能很快会被市场上的主流消费者所接受，但随着技术创新的不断改进，改良型创新可能会导致产品的性能过剩。就变革而言，渐进式的改进其实有一个根本的前提，那就是企业的发展方向是正确的，对大格局的研判是准确的。否则，南辕北辙，拾遗补缺式的改良只会导致在错误的道路上渐行渐远，改良的后果只是在原本已经盘根错节积弊深沉的系统中加剧复杂，使问题的解决变得更加困难。渐进式变革是一种从外部来解决问题的方法，最大的问题是忽视了企业中冲突的内在动力和本质，就象在数字化技术中全力研究模拟技术的日本企业一样，付出很多但却无法得到回报，甚至因此而落败。更何况，正如一位智者所言，“财富永远来源于更好地突破现状、把握未知，而非更好地完善已知”。
人们更加倡导通过反梯度推移，实现组织的突变型再造和创新。所谓反梯度推移，是指不是象通常那样序贯的、顺次的、梯度的推进，而是渐进过程的中断，非平衡发展的突变和创造性毁灭（creativedestruction）。熊彼特在总结他所观察的现代经济演化特征时指出，推动进步的力量，并非来自过去经验的累积，而在于颠覆性的全盘创新。美国科学哲学家托马斯·库恩亦提出“范式转移(paradigmshift)”概念，他特别强调新旧范式之间具有不可通约性，范式的转换是一种整体性、结构性转换；范式的改变是世界观的改变，范式一改变，这世界本身也随之改变了。在转型变革期，企业的再造和创新绝不是一次改良运动，而是重大的突变式改革。这主要表现为以下三个方面：
（1）企业变革和再造是对固有基本信念的挑战。这些信念是“隐藏在暗处的顽石”，深深植根于企业内部，影响企业员工的心智模式，对企业经营活动的展开、业务流程的设计和执行起基础性作用。由于当今世界的商业环境及游戏规则已经发生革命性的变化，从根本上动摇了以往的商业逻辑，必须对企业既有的、视为当然的基本信念进行相应的批判性审视，促进基本信念的重大转变，使组织里的每个人都开始关心“做正确的事”而非“把事做正确”。突变型再造和创新的根本目的，是要不断地矫正轨道，使企业永远向着正确的方向，而非如何在现有的轨道上跑得更快。
（2）企业再造和变革不是要在业绩上取得点滴的改善或逐渐提高，而是要在经营业绩上取得显著的改进。企业变革和再造要基于某一崭新的理念而展开，不是对组织和流程简单的修修补补，而是对组织的再造，对业务流程的重建，对“零和竞争”的超越，对新市场的开辟，从而使企业产生脱胎换骨的变化。如企业通过挖掘顾客的潜在需求，采用突变型技术取代原有的传统技术，通过与市场意见领导者进行沟通和对消费者进行再教育等方式影响市场，采取主动性营销策略，挖掘商机，创造新的市场格局和丰厚的新的利润源。
（3）突变是摆脱积重难返的旧体制和复杂系统巨大惯性的唯一出路，唯有通过突变和创新，方可实现企业从旧质转化为新质的爆发式跃迁。在明晰事物的真相和问题的症结后，就要大刀阔斧从容不迫地施行变革，置死地而后生，从根本上使企业走出困境。
3．细节魔鬼与蝴蝶效应
著名的洛仑兹蝴蝶效应现象，是指事物发展的结果对初始条件和边界条件具有极为敏感的依赖性。初始条件极小的偏差将会引起结果的巨大差异。1979年12月29日，当美国科学家洛仑兹在华盛顿美国科学促进会，以“可预言性：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风吗？”为题演讲的时候，人们对蝴蝶效应也许还缺少切实的体会，但随着事物间的联系越来越密切，系统越来越庞大复杂，蝴蝶效应越来越显著，发生的频率也越来越高。2003年北美历史上发生了最严重的大停电事故，造成了60亿美元的直接损失。经联合调查小组的专家证实，其原因却非常简单，不过是一些长得过分茂密的树丛使俄亥俄州克里夫兰附近的电线短路。在经济全球化、一体化和信息化时代，蝴蝶效应具有更大的普遍性，不仅在自然界而且在政治、经济、军事、社会等人工系统，均有蝴蝶效应发生，产生的影响力和冲击力也十分巨大。
data/attachment/portal/201111/06/11554419kpyg9gyd4d9igz.jpg突变理论
蝴蝶效应也给企业发展带来了重大的影响，蝴蝶效应还改变了人们对企业的传统认识，即企业可以在一个稳定环境中按照一个相对稳定的模式有序发展。现代企业是一个由人的因素、技术的因素和环境因素构成的多项、共时和互动的复杂系统，由于对初始条件的高度敏感性，一点细微的变化，都会引起企业的巨大变革，企业发展面临更大的突变性和不可控制性。在这样一个复杂且充满突变的时代，企业正被一些越来越细小和看起来不重要的事件所左右。一条不引人注目的小道消息，通过互联网可能会迅速传遍世界，蝴蝶效应使越来越多的企业被莫名其妙地卷入危机的旋涡，有些甚至因此而走向崩溃；相反，也可能因为一件事情做得恰到好处正当其时、一个主意很独特而被大事渲染，一夜走红，闻名天下，进而被模式化、标准化、连锁化而坐收渔利。
在市场经济竞争日益激烈的今天，社会分工越来越细，流程化、标准化、制式化和专业化程度越来越高，企业与企业之间在战略、产品和服务等方面的同质化现象越来越严重，从这种意义上讲，企业就是细节，市场的竞争就是细节上的竞争。21世纪的商业时代，是一个以1％决定胜负的时代，在这个时代，一个细节就可以左右企业的成败和兴衰。如果说一个企业在产品或服务上注重细节的改进，也许只给用户增加了1%的方便，然而企业得到的却是客户100%的购买行为。因为当客户做出购买决策前，自然会货比三家，在同质市场上，相同的材料、相同的产品功能等“相同项”都被抵消了，对决策起作用的就是那1%的细节。正是1%细节的比较优势打动了客户，赢得了市场。这也应了密斯·凡·德罗的一句话：“魔鬼在细节”。密斯·凡·德罗作为20世纪世界四位最伟大的建筑师之一，在多个场合反复强调指出，不管你的建筑设计方案如何恢弘大气，如果对细节的把握不到位，就不能称之为一件好作品。细节的准确、生动可以成就一件伟大的作品，细节的疏忽会毁坏一个宏伟的规划。
4．“满意解”而不是“最优解”
决策本质上就是把不确定性的东西加以确定。决策者要在充分论证的基础上审时度势，敢于拍板、敢于担当；当断不断，必为所乱。在做决策的时候，不追求绝对最优的决策，转而追求简洁高效的满意解甚至非劣解（Pareto解）即可。形而上地讲，最优解只存在于数学逻辑和理念中，现实世界中的最优解其实是不存在的。这不仅是因为人的理性和精力是有限的，人的“有限理性”从根本上否则了得到绝对意义上最优解的可能；而且为得到最优解通常需要足够的信息，而信息的获得是需要代价的，这自然就引出一个在这些信息支持下获得最优解产生的收益（得）与为得到这些信息本身所付出成本（失）之间的权衡问题，会不会出现“得”不偿“失”的情况？再则，也是在此处要特别强调的是，突变论指出高度优化的设计（最优解）很可能有许多不理想的性质，因为在结构上、性能上追求最优，常常鲁棒性很差，稳定性不高，对方案中可能的缺陷具有高度敏感性。最优解要求系统各部分衔接每次都准确无误，而当系统一旦有问题（现在的系统几乎都是多因素、共时、互动的复杂巨系统，出问题的概率是很高的！），其承载能力将会突然变小，出现突然的全面的“灾变”，产生特别难于解决的破坏性，以致让系统彻底瘫痪。
5．网络突变下的危机管理
21世纪以来人类进入了网络时代，今天的经济已是一个全球化的经济、开放的经济和一体化的经济，是一个既高度分工又高度综合集成的经济，诸如资金、人员、管理和品牌等资源不再象以前那样受到空间的限制，而是更加方便和自由地流动。交通和通讯的极大便利以及IT技术和互联网的强力渗透，把人类紧紧相连。每个企业不过是庞大网络体系中的一个节点，彼此制约，相互依赖。世界上任何一个角落的突变都会在全世界范围内飞速传播，冲
data/attachment/portal/201111/06/115544ggzky1ki1g9kua30.jpg突变理论创始人
击波迅速放大，其频度和深度前所未有，企业将面临更为动荡的商业环境。随着信息技术的飞速发展和网络的普及，全球化、信息化和网络化正在深刻地改变世界的商业模式，使企业不得不在一个蕴含更多不确定性和突变性的商业风险和危机中打拼。在过去的几年里，施乐、山登、广本、美林证券、亨氏、肯德基、宝洁、卡夫、强生、联合利华、雀巢、哈根达斯等跨国公司，以及本土的中航油、长虹、光明乳业等都曾被卷入危机的漩涡之中。而一些曾经无限风光如日中天的企业，如美国的安然、世通、安达信，英国的巴林银行，香港的百富勤，中国大陆的巨人、德隆、中天勤、银广夏、亚细亚、飞龙、巨能钙等几乎是在倾刻间不复存在，就像汇丰集团主席庞·约翰所说的那样：“过去摧毁一座金融帝国可能需要一个很漫长的过程，但是现在，即使是经营了上百年的金融帝国也可以在一夜之间倾塌”。
突变理论在在自然科学的应用是相当广泛的。在物理学研究了相变、分叉、混沌与突变的关系，提出了动态系统、非线性力学系统的突变模型，解释了物理过程的可重复性是结构稳定性的表现。在化学中，用蝴蝶突变描述氢氧化物的水溶液，用尖顶突变描述水的液、气、固的变化等。在生态学中研究了物群的消长与生灭过程，提出了根治蝗虫的模型与方法。在工程技术中，研究了弹性结构的稳定性，通过桥梁过载导致毁坏的实际过程，提出最优结构设计。
突变理论在社会现象的一个用归纳为某种量的突变问题，人们施加控制因素影响社会状态是有一定条件的，只有在控制因素达到临界点之前，状态才是可以控制的。一旦发生根本性的质变，它就表现为控制因素所无法控制的突变过程。还可以用突变理论对社会进行高层次的有效控制，为此就需要研究事物状态与控制因素之间的相互关系，以及稳定区域、非稳定区域、临界曲线的分布特点，还要研究突变的方向与幅度。
通过突变理论能够有效地理解物质状态变化的相变过程，理解物理学中的激光效应，并建立数学模型。通过初等突变类型的形态可以找到光的焦散面的全部可能形式。应用突变论还可以恰当地描述捕食者----被捕食者系统这一自然界中群体消长的现象。过去用微积分方程式长期不能满意解释的，通过突变论能使预测和实验结果很好地吻合。突变论还对自然界生物形态的形成作出解释，用新颖的方式解释生物的发育问题，为发展生态形成学作出了积极贡献。突变论对哲学上量变和质变规律的深化，具有重要意义。很长时间以来，关于质变是通过飞跃还是通过渐变，在哲学上引起重大争论，历史上形成三大派观点：“飞跃论”、“渐进论”和“两种飞跃论”。突变论认为，在严格控制条件的情况下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程。质态的转化，既可通过飞跃来实现，也可通过渐变来实现，关键在于控制条件。应用突变论还可以设计许许多多的解释模型。例如经济危机模型，它表现经济危机在爆发时是一种突变，并且具有折迭型突变的特征，而在经济危机后的复苏则是缓慢的，它是经济行为沿着“折迭曲面”缓慢滑升的渐变。此外，还有“社会舆论模型”、“战争爆发模型”、“人的习惯模型”、“对策模型”、“攻击与妥协模型”等等。
突变理论能解说和预测自然界和社会上的突然现象，无疑它也是软科学研究的重要方法和得力工具之一。突变论在数学、物理学、化学、生物学、工程技术、社会科学等方面有着广阔的应用前景。《大英百科年鉴》1977年版中写道：“突变论使人类有了战胜愚昧无知的珍奇武器，获得了一种观察宇宙万物的深奥见解”。自然，突变论的应用在某些方面还有待进一步的验证，在将社会现象全部归结为数学模型来模拟时还有许多技术细节要解决，在参量的选择和设计模型方面还有大量工作要做。此外，突变理论本身也还有待于进一步完善，在突变论的方法上也有许多争议之处。总之，突变论问世以来，引起褒贬不一的评述，正象任何一门新兴学科的发展经历一样。著名数学家斯图尔特客观地评价了突变论，他写道：“适当地理解突变理论，可以为人们生存的世界提供新颖而深入的见解。但它还需要加以发展、检验、修改，经历一般成为可靠的科学工具的全部过程。但我毫不怀疑，也不是宇宙中的唯一事物”。
突变理论在许多领域已经取得了重要的应用成果。随首研究的深入，它的应用范围在不断扩大，相信它在中国建设中将发挥重要作用。
图示解析
突变理论20世纪70年代发展起来的一个新的数学学科。一种自然现象或一个技术过程，在发展变化过程中常常会从一个状态跳跃式地变到另一个状态，或者说经过一段时间缓慢的连续的变化之后，在一定的外界条件下，会产生一种不连续的变化，这就是所谓的突变现象。这类突变现象在大自然里以及在技术过程中都是普遍存在的。例如，一定质量的气体在一定的温度和压力之下会变成液体，天气的突然变化会产生暴风雨，地壳的剧烈运动会引起地震，桥梁的扭曲会导致断裂，容器里的几种物质在一定的外界条件下会发生化学反应,胚胎的发育,等等，这些现象都是突变现象。以前科学家们在研究这类突变现象时遇到了各式各样的困难，其中主要困难之一就是缺乏恰当的数学工具来提供描述它们的数学模型。1969年法国数学家R.托姆在他的题为《生物学中的拓扑模型》一文中，首次在奇点分类的基础上提出了一个描述突变现象的数学模型。稍后，他在著名的《结构稳定与形态发生》一书中又系统地阐述了他的思想，这就是现在人们所称的突变理论。
泽曼机是E.C.泽曼为阐述突变理论而构造的一个力学例子。D是一个半径为1的圆盘，它可以围绕xy平面的原点O自由转动。A是xy平面上的一个固定点,AO的长为3,B是圆盘上的一个固定点，取两条长度为1的弹性带子，把其中的一条的一端固定在点A,另一端固定在圆盘上的点B处；另一条弹性带子的一端固定在B处,另一端C在平面上自由移动。当点C在平面上连续变动时,只要BC的长度大于1，那么在弹性力的作用下，一般说来,圆盘是跟着C点的移动而连续地转动。在实验中发现，当C移动到某些点时，圆盘会从一个状态跳跃到另一个状态，发生了不连续的变化即突变。通过实验就可以看到这种突变点构成一条如图1
data/attachment/portal/201111/06/115544l5l888ll8mb5y8ml.jpg突变理论
所示的尖点状的曲线。对这样一个力学系统的运动，取直线OA为y轴,首先找出刻画圆盘状态的参数，可以用OB与OA的夹角θ来刻画圆盘的状态并称θ为状态参数，或称内参数。点C的运动控制着圆盘的运动，所以点C的坐标(x,y)就称为控制参数或外参数。由胡克定律可知，这个力学系统有个势函数。当两条弹性带子的长度分别为l1、l2时，它们的总势能为V=(l1-1)+(l2-1)，式中l1=AB,l2=BC，将
data/attachment/portal/201111/06/115545szmwfit131fdjxmf.gif代入V,可以看出V是θ、x、y的函数。由极小势能原理可知，当点C的坐标为(x0，y0)时，圆盘状态θ0应使V(θ0，x0,y0)为势函数V(θ,x,y)的极小值。也就是说，这个力学系统的状态(θ,x,y)应满足方程式data/attachment/portal/201111/06/115545zggqq22gr2i1sm29.gif。在三维空间(θ,x,y)∈R中,方程式data/attachment/portal/201111/06/11554575j1577f28jcbj52.gif确定一曲面,记作MV并称它为状态曲面或突变流形。它上面的点代表这个力学系统的一个状态。从奇点理论研究的结果知道，可以选取适当的坐标(φ,u,υ)使得函数V在新坐标系中有很简单的分析表达式：
data/attachment/portal/201111/06/115545gedghyhedh9k77ue.gif而状态曲面MV由方程
data/attachment/portal/201111/06/115545999e0g6ssmkev075.gif所决定。这个曲面图形如图2data/attachment/portal/201111/06/11554685n0rnz5dvf5bq0k.jpg所示。几何上曲面MV是这样描述力学系统运动的:为了使图看起来清晰,把u,υ平面沿φ轴向下平移一个距离,ⅹV表示MV到(u,υ)平面的垂直投影,曲面MV的两条折叠线在ⅹV下的像是一条尖点曲线α,给定一点p0(u0,υ0)，圆盘的状态φ0应该使
data/attachment/portal/201111/06/115546vjwi3rcwbwzqvcni.gif,
即(φ0,u0,υ0)是曲面MV上的一点Q0，亦即通过点(u0，υ0)平行于φ轴的直线与MV的交点就是data/attachment/portal/201111/06/115546yxfxoszxhd7qtqof.gif。当控制参数p＝(u,υ)在平面上沿一条曲线从p0连续地变到p1,p2时,相应的代表系统状态的点Q就从Q0连续地沿着曲面上一条曲线变到Q1,Q2。但当点p通过曲线上的点p3时,相应的代表系统状态的点Q就从曲面的折叠处（悬崖上）掉到曲面的下面一叶上的点Q3，这就是代表系统状态的点Q产生了不连续的跳跃,即描述了系统的突变运动。曲线α具有重要性质:当控制参数(u,υ)穿过它时,系统状态产生突变。曲线α看作点集并称为突变集,而ⅹV称为突变映射。研究一下曲面MV和映射ⅹV:MV→R就可以看到曲线α就是映射ⅹV的奇点集在ⅹV下的像。因此,若要找突变集，首先是要求出ⅹV的奇点集。
由这个力学的实例可以概括出研究突变现象的数学方法：
①确定刻画系统状态的参数(x1,x2,…,xn)及系统的控制参数(u1,u2,…,ur)。在上例中就是确定出刻画圆盘的状态的参数θ以及控制参数(x,y)。
②确定支配系统的势函数p(x1,x2,…,xn;u1，u2,…,ur)在控制参数为（u1,u2,…,ur）时系统的平衡态(x1,x2,…,xn)使得势函数p取极小值,在上例中就是找出系统的弹性势能V(θ,x,y)。
③确定系统所有可能出现的平衡态构成的空间Mp,Mp是Rr中由方程式
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所确定的子流形。
④研究Mp到Rr(u1,u2,…,ur)上的投影data/attachment/portal/201111/06/1155474t5ajx1zd5z8zdmh.gifdata/attachment/portal/201111/06/11554746bpy68postd2832.gif，以Σp记ⅹp的奇点集，Rr(u1，u2，…，ur)中的ⅹp(Σp)称为分歧集。它确定了突变可能发生的范围。
一般说来，势函数可以是非常复杂的。但是托姆关于基本突变分类定理告诉人们，尽管势函数p千千万万，但是只要势函数的控制参数u1,u2,…,ur的个数不超过4,用奇点的语言就是：p(x1,x2,…,xn)的余维r≤4,结构稳定的势函数的拓扑型（即在坐标的微分同胚变换之一）只有七种类型。