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最大似然法
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最大似然法
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信号功率谱密度估计方法之一。其原理是让信号通过一个滤波器，选择滤波器的参数使所关心的频率的正弦波信号能够不失真地通过，同时，使所有其他频率的正弦波通过这个滤波器后输出的均方值最小。在这个条件下，信号经过这个滤波器后输出的均方值就作为其最大似然法功率谱估值。可以证明,如果信号x是由一个确定性信号S加上一个高斯白噪声n所组成，则上述滤波器的输出是信号S的最大似然估值，因此,称为最大似然法。如果n不是高斯噪声，则上述滤波器的输出是信号S的最小方差的线性的无偏估值。
最大似然法是20世纪60年代末期由于对地震波和水声信号等处理的需要而发展起来的一种非线性谱估计方法。最早由J.凯佩用这种方法对空间阵列接收信号进行频率波数谱估值，后来推广到对时间信号序列的功率谱估值。
最大似然法功率谱估值的表达式给定信号x(n)，其最大似然法功率谱估值为
data/attachment/portal/201111/06/1429091ya338cyaaj3kegk.gif式中data/attachment/portal/201111/06/142909030db0gkih2mff02.gif;墹t为采样时间间隔；Rx为信号x(n)的自相关矩阵；Rdata/attachment/portal/201111/06/142912u61qzsosulpuaap1.gif为Rx的逆矩阵；T为转置运算；*为取共轭值。
满足上述要求的滤波器系数α的表达式为
data/attachment/portal/201111/06/1429124bsibsbbkcfzbtm8.gif式中data/attachment/portal/201111/06/14291344fdhzgbad4adlge.gif
由上式可以看出，滤波器系数与信号的自相关函数和E有关。可以看为,滤波器将根据输入的信号及所要求的频率而调整其系数，使所关心的频率分量能完全通过，而使其他频率分量的输出功率最小。因此，它能得到比使用固定的窗口函数的周期图法更高的分辨率。
最大似然法频率波数功率谱估值地震波、水声信号等从空间阵列接收器得到的信号，既随时间变化也随空间位置变化。因而，其功率谱估值同时为时间和空间的函数关系，故应为频率波数功率谱估值。
假定信号在时间上与空间上均是平稳的，则最大似然法频率波数功率谱估值的表达式为
data/attachment/portal/201111/06/142914q6q1y9ft0i0i5k6k.gif式中Cw为信号在频率w下的互功率谱矩阵;Cdata/attachment/portal/201111/06/142914o7owk9sd37bs7suz.gif为Cw的逆矩阵；k为波数矢量；而
data/attachment/portal/201111/06/142914q6pvyrmp9xx22xmt.gif式中z1,z2,…,zN为空间矢量；kdata/attachment/portal/201111/06/142914umppv5q9pdvyri99.gifz表示矢量k与矢量z的数量积；T表示转置运算；*表示取共轭值。
如果要求频率波数功率谱具有高的分辨率，应用一般的谱估值方法要求空间阵列接收器的范围很大，致使设备费用很高；若应用最大似然法，则可以用较小范围的空间阵列得到较高的谱分辨率。
最大似然法功率谱估计是一种可获得高分辨率的非线性谱估值方法，它特别适用于水声、地震波等信号的频率波数功率谱估值；同样，也可用于平稳时间序列的功率谱估值。最大似然法功率谱估值的分辨率略低于最大熵法功率谱估值，但其性能更为稳定。
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