目录
数学期望
正文
配图
相关连接
数学期望
正文
又称期望或均值,是随机变量按概率的加权平均,表征其概率分布的中心位置。数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念。当时研究的概率问题大多与赌博有关。假如某人在一局赌博中面临如下的情况：在总共m＋n种等可能出现的结果中,有m种结果可赢得α,其余n种结果可赢得b),则data/attachment/portal/201111/06/1429351mvmr11odd9f922b.gif就是他在该局赌博中所能期望的收入。数学期望的这种初始形式早在1657年即由荷兰数学家C.惠更斯明确提出。它是简单算术平均的一种推广。
设x为离散型随机变量，它取值x0，x1,…的概率分别为p1,p2,…,则当级数data/attachment/portal/201111/06/142935ttd6owhrrhovof8o.gif时，定义它的期望为data/attachment/portal/201111/06/142936zpol26wwllp7008p.gif。这里之所以要求级数绝对收敛，是因为作为期望的这种平均，不应当依赖于求和的次序。若x为连续型随机变量，其密度函数为p（x），则当积分data/attachment/portal/201111/06/142936305rutvyv6tuu63y.gif时,定义它的期望为data/attachment/portal/201111/06/142936bc0buru55m0md2c9.gif。在一般场合，设x是概率空间(Ω,F,p)上的随机变量，其分布函数为F(x),则当data/attachment/portal/201111/06/142937aw11a9sgv1v8oeyw.gif时,定义x的期望为
data/attachment/portal/201111/06/1429373mh434h7m510jcm4.gif式中data/attachment/portal/201111/06/1429377c92rx2eduyydz8r.gif是斯蒂尔杰斯积分;data/attachment/portal/201111/06/1429386eynjq660ih00ka9.gif或data/attachment/portal/201111/06/142938voiz7o047y3g4ln7.gif是随机变量x在Ω上对概率测度p的积分。然而,并非所有的随机变量都具有期望。
随机变量的期望,有下列性质:E(x＋Y)=Ex＋EY；若把常数α看作随机变量,则Eα=α；若x≥0,则Ex≥0;若x与Y独立,则E(XY)＝Ex·EY;若随机变量x1,x2,…,xn有联合分布函数F(x1,x2,…,xn),则对一类n元函数?(x1,x2,…,xn)（称为可积的n元波莱尔可测函数，它包括所有可积的初等函数和连续函数），有
data/attachment/portal/201111/06/14293849uj17nj427joen8.gif若Z＝x＋iY为复随机变量,则定义其数学期望为EZ=Ex＋iEY。
上述数学期望的概念也可推广至随机向量的情形。一个随机向量data/attachment/portal/201111/06/1429380922aaaqwwa9ayw9.gif的数学期望(EX定义为以其各分量xj的数学期望为分量的向量，即data/attachment/portal/201111/06/1429389nlzqwzjjldudlxs.gifdata/attachment/portal/201111/06/142939w588z3t0d25nd1h2.gif，也称为X的均值向量。它也具有一般期望所具有的类似性质。
配图
相关连接