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概念
函数图像
性质
概念
data/attachment/portal/201111/06/143031bicbb3yykr57mbcm.jpg对数曲线
英语名词：logarithms
如果a^b=n，那么log(a)(n)=b。其中，a叫做“底数”，n叫做“真数”，b叫做“以a为底的n的对数”。log(a)(n)函数叫做对数函数。对数函数中n的定义域是n>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。其图像为对数曲线。
函数图像
1.对数函数的图象都过(1,0)点.
2.对于y=log(a)(n)函数,
①,当01时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.
3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.
性质
基本性质：
1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
5、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)
换底公式
log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)
推导如下：
N=a^
a=b^
综合两式可得
N={b^}^=b^{*}
又因为N=b^
所以b^=b^{*}
所以log(b)(N)=*{这步不明白或有疑问看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)
公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)
证明如下：
由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数
log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)×log(b)(a)=1
推导
1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
a^=a^×a^
由指数的性质
a^=a^{+}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)
3、与（2）类似处理
MN=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
a^=a^÷a^
由指数的性质
a^=a^{-}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)
4、与（2）类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^={a^}^n
由指数的性质
a^=a^{*n}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性质4推广
log(a^n)(b^m)=m/n*
推导如下：
由换底公式（换底公式见下面）
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导：
设e^x=b^m,e^y=a^n
则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m)=÷=(m÷n)×{÷}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×--------------------------------------------
在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进伯制整数或小数的对数。例如lg10=1,lg100=lg102=2,lg4000=lg（103×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。