图象变换

  wish8088 ·  2010-03-13 09:52  ·  35722 次点击
TheTransformationofFunctionCurve
一.图象变换的概念
数学里的变换,指一个图形(或表达式)到另一个图形(或表达式)的演变。
图象变换是函数的一种作图方法。
已知一个函数的图象,通过某种或多种连续方式变换,得到另一个与之相关的函数的图象,这样的作图方法叫做图象变换。
二.图象变换的方式
常见的函数的图象变换有四种基本形式:平移变换、对称变换、伸缩变换和翻折变换。
1.平移变换
(1)横向平移变换
将函数y=f(x)的图象沿x轴方向平移|m|个单位,得到函数y=f(x+m)(m≠0)的图象,当m>0时,向左平移;当m<0时,向右平移。
(2)纵向平移变换
将函数y=f(x)的图象沿y轴方向平移|n|个单位,得到函数y=f(x)+n(n≠0)的图象。当n>0时,向上平移;当n<0时,向下平移。
2.对称变换
(1)作函数y=f(x)的图象关于x轴的对称图象,得到函数y=-f(x)的图象。
(2)作函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图象,得到函数y=f(-x)的图象。
(3)作函数y=f(x)的图象关于原点的对称图象,得到函数y=-f(-x)的图象。
(4)作函数y=f(x)的图象关于直线y=x的对称图象,得到函数y=f-1(x)的图象。
(5)作函数y=f(x)的图象关于直线x=a的对称图象,得到函数y=f(2a-x)的图象。
如图一。函数y=e^x的图象,通过(1)~(4)的变换,分别得到y=-e^x,y=e^(-x),y=-e^(-x),y=lnx的图象。
3.翻折变换
(1)上下翻折变换
将函数y=f(x)在x轴上方的图象保留,下方的图象翻折到上方去,得到函数y=|f(x)|的图象。
(2)左右翻折变换
将函数y=f(x)在y轴右侧的图象保留,再作其关于y轴的对称图象,并去掉y轴左侧的图象,得到函数y=f(|x|)的图象。如图二。函数y=1/e^x的图象变换得y=1/e^|x|的图象。
三.三角函数的图象变换
1.正弦曲线到正弦型曲线的变换
正弦型函数y=Asin(ωx+φ),当A≠0,ω≠0,x∈R时的曲线,可以由正弦曲线y=sinx,通过以下一系列图象变换而得到:
(1)横向平移变换
将函数y=sinx的图象沿x轴向左(当φ≥0时),向右(当φ1时),缩短(当|A|0,ω>0,x≥0时,它刻划的是物理的简谐运动的位移与时间,交流电的电流与时间的函数关系。
这时,上述变换又可依次称为(1)相位变换、(2)周期变换、(3)振幅变换。
值得注意的是,若先作周期变换,再作相位变换,则平移量不是|φ|,而是|φ/ω|.
四.新旧图象的关系
为简便起见,我们把变换前的图象叫旧图象,变换后的图象叫新图象。
1.对应观点
上述变换,除翻折变换的第(2)项左右翻折变换外,其他的变换,新图象和旧图象上的点存在一一对应关系。这是我们解决新旧图象关系的最基本最关键的出发点。也是解决其对应的新旧解析式的最基本最关键的出发点。
2.数形结合观点
函数的图象变换,是从“形”的角度使函数发生变化。新旧图象表示两个函数。与之对应的两个函数的解析式也从“式”的角度发生了变化。
3.保距性
在上述图象变换中,平移变换和对称变换能保持图形上任何两点之间的距离不变。可以看成“保距”变换。
但是,翻折变换和伸缩变换不具有这一性质。
4.可逆性
每种形式的函数的图象变换都有它自己的变换意义,按照它的变换意义将一个函数y=f(x)的图象以变成另一个函数y=h(x)的图象,这是它的正向意义。而根据“相反意义”实施逆变换,将函数y=h(x)的图象变成函数y=f(x)的图象,这是它的逆向意义。函数的图象变换具有双向意义。
五.几点说明
1.图象变换的本质
函数图象变换的本质,是用图象的形式表示的函数,由一个函数变化到另一个函数。即新旧图象是两个函数。
2.图象变换体现的数学思想
函数图象变换的过程体现了由简单到复杂,特殊到一般的划归思想。
3.图象变换的基本元素
函数图象变换的基本元素是自变量“x”。解答有关图象变换的问题时,“确保x的系数是1”是避免出现错误的重要策略。
4.参考资料
中学数学教师手册
高中课程标准实验教科书数学
高中数学教师教学用书
高中数学函数
高等数学手册

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