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卷积
正文
卷积
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设?(x),g(x)是R上的两个可积函数，作积分
data/attachment/portal/201111/06/14344033e3gwq353nn24v7.gif。可以证明，关于几乎所有的x∈(-∞，∞)，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值,这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为?与g的卷积，记为h(x)=(?*g)(x)。容易验证，(?*g)(x)=(g*?)(x)，并且(?*g)(x)仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，l(R)空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。以弮(x),抭(x)，表示l(R)中?和g的傅里叶变换,那么有如下的关系成立：data/attachment/portal/201111/06/143440cxwcwwnk4nkxgcqu.gif,即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换。这个关系，使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数(?*g)(x)，一般要比?,g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数，?为局部可积时，它们的卷积(?*g)(x)也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数，都可以简单地构造出一列逼近于?的光滑函数列?s(x),这种方法称为函数的光滑化或正则化。
卷积的概念可以推广到数列、测度以及广义函数上去。例如,α={αn},b={bn}(n=0,±1,±2,…)为两个数列，新的数列
data/attachment/portal/201111/06/143440e5eid9hfvy89350v.gif定义为数列α与b的卷积。在概率论中也遇到卷积的概念。例如，已知独立随机变量ξ和η的概率分布为Pξ（A）和Pη(A)，那么随机变量ξ+η的分布data/attachment/portal/201111/06/1434400xpn2tw31j102332.gif由下式给出
data/attachment/portal/201111/06/143441yasopssz514sysrs.gif，式中A-y表示点集{x|x+y∈A};A为直线上任意的波莱尔集。
卷积，作为运算，还具有十分重要的所谓平移不变性。例如以τα表示平移算子,即(τα?)(x)=?(x-α),那么就有
data/attachment/portal/201111/06/14344251b9ohsthqfh2p7h.gif利用这性质，可以刻画出l(R)到data/attachment/portal/201111/06/143442m8elzdqza6a6ma6a.gif有界的平移不变算子的特征，即当作用在施瓦兹函数类(记为S(R))时,这种算子一定是某个缓增广义函数u与函数φ∈S的卷积u*φ（见广义函数）。