一、等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d(1)
前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)
以上n均属于正整数。
从(1)式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项，且为数列的平均数。
且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq，Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。
和＝（首项＋末项）×项数÷2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
末项=首项+（项数-1）×公差
等差数列的应用：
日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。
若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。
3．等差数列的基本性质
⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．
⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．
⑶若、为等差数列，则{a±b}与{ka＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
⑷对任何m、n，在等差数列中有：a=a+(n－m)d，特别地，当m=1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l+k+p+…=m+n+r+…（两边的自然数个数相等），那么当为等差数列时，有：a+a+a+…=a+a+a+…．
⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd(k为取出项数之差)．
⑺如果是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a、a也是等差数列，其公差为－d；在等差数列中，a－a=a－a=md．(其中m、k、)
⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．
⑽设a1，a2，a3为等差数列中的三项，且a1与a2，a2与a3的项距差之比=d（d≠－1），则2a2=a1+a3．
5．等差数列前n项和公式S的基本性质
⑴数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S可以写成S=an+bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列中，当项数为2n(nN)时，S－S=nd，=；当项数为(2n－1)(n)时，S－S=a，=．
⑶若数列为等差数列，则S，S－S，S－S，…仍然成等差数列，公差为．
⑷若两个等差数列、的前n项和分别是S、T(n为奇数)，则=．
⑸在等差数列中，S=a，S=b(n＞m)，则S=(a－b)．
⑹等差数列中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y=x+(a－)上．
⑺记等差数列的前n项和为S．①若a＞0，公差d＜0，则当a≥0且a≤0时，S最大；②若a＜0，公差d＞0，则当a≤0且a≥0时，S最小．
3．等比数列的基本性质
⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q(m为等距离的项数之差)．
⑵对任何m、n，在等比数列中有：a=a·q，特别地，当m=1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．
⑶一般地，如果t，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t+k，p，…，m+…=m+n+r+…(两边的自然数个数相等)，那么当为等比数列时，有：a．a．a．…=a．a．a．…．．
⑷若是公比为q的等比数列，则{|a|}、、、{}也是等比数列，其公比分别为|q|}、、、{}．
⑸如果是等比数列，公比为q，那么，a，a，a，…，a，…是以q为公比的等比数列．
⑹如果是等比数列，那么对任意在n，都有a·a=a·q＞0．
⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．
⑻当q＞1且a＞0或0＜q＜1且a＜0时，等比数列为递增数列；当a＞0且0＜q＜1或a＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q=1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．
4．等比数列前n项和公式S的基本性质
⑴如果数列是公比为q的等比数列，那么，它的前n项和公式是S=
也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论．
⑵当已知a，q，n时，用公式S=；当已知a，q，a时，用公式S=．
⑶若S是以q为公比的等比数列，则有S=S＋qS．⑵
⑷若数列为等比数列，则S，S－S，S－S，…仍然成等比数列．
⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S与T，次n项和与次n项积分别为S与T，最后n项和与n项积分别为S与T，则S，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列
等差数列基本公式:
末项=首项+(项数-1)×公差
项数＝（末项－首项）÷公差+1
首项=末项-(项数-1)×公差
和=(首项+末项)×项数÷2
末项:最后一位数
首项:第一位数
项数:一共有几位数
和:求一共数的总和
其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：
今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？
书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。这相当于给出了Sn=（a1+an）/2×n的求和公式
等差数列小故事：
高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。
高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。
高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。