分枝界限法
管理百科 · 2011-12-03 21:34 · 39336 次点击
概述
基本思路
步骤
算法分析
概述
分枝界限法是由三栖学者查理德·卡普(RichardM.Karp)在20世纪60年代发明,成功求解含有65个城市的旅行商问题,创当时的记录。“分枝界限法”把问题的可行解展开如树的分枝,再经由各个分枝中寻找最佳解。
分枝界限法也能够使用在混合整数规划问题上,其为一种系统化的解法,以一般线性规划之单形法解得最佳解后,将非整数值之决策变量分割成为最接近的两个整数,分列条件,加入原问题中,形成两个子问题(或分枝)分别求解,如此便可求得目标函数值的上限(上界)或下限(下界),从其中寻得最佳解。
基本思路
1、基本思想
分枝定界法是一个用途十分广泛的算法,运用这种算法的技巧性很强,不同类型的问题解法也各不相同。分支定界法的基本思想是对有约束条件的最优化问题的所有可行解(数目有限)空间进行搜索。该算法在具体执行时,把全部可行的解空间不断分割为越来越小的子集(称为分支),并为每个子集内的解的值计算一个下界或上界(称为定界)。在每次分支后,对凡是界限超出已知可行解值那些子集不再做进一步分支。这样,解的许多子集(即搜索树上的许多结点)就可以不予考虑了,从而缩小了搜索范围。这一过程一直进行到找出可行解为止,该可行解的值不大于任何子集的界限。因此这种算法一般可以求得最优解。
将问题分枝为子问题并对这些子问题定界的步骤称为分枝定界法。
2、分枝节点的选择
对搜索树上的某些点必须作出分枝决策,即凡是界限小于迄今为止所有可行解最小下界的任何子集(节点),都有可能作为分枝的选择对象(对求最小值问题而言)。怎样选择搜索树上的节点作为下次分枝的节点呢?有两个原则:
1)从最小下界分枝(队列式FIFO分枝限界法):每次算完界限后,把搜索树上当前所有叶节点的界限进行比较。找出限界最小的节点,此结点即为下次分枝的结点。
·优点:检查子问题较少,能较快地求得最佳解;
·缺点:要存储很多叶节点的界限及对应的耗费矩阵,花费很多内存空间。
2)从最新产生的最小下界分枝(优先队列式分枝限界法):从最新产生的各子集中选择具有最小的下界的结点进行分枝。
优点:节省了空间;缺点:需要较多的分枝运算,耗费的时间较多。
这两个原则更进一步说明了,在算法设计中的时空转换概念。
分枝定界法已经成功地应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、货郎担问题、选址问题、背包问题以及可行解的数目为有限的许多其它问题。对于不同的问题,分枝与界限的步骤和内容可能不同,但基本原理是一样的。
步骤
分枝界限法是组合优化问题的有效求解方法,其步骤如下所述:
步骤一:如果问题的目标为最小化,则设定目前最优解的值Z=∞
步骤二:根据分枝法则(Branchingrule),从尚未被洞悉(Fathomed)节点(局部解)中选择一个节点,并在此节点的下一阶层中分为几个新的节点。
步骤三:计算每一个新分枝出来的节点的下限值(Lowerbound,LB)
步骤四:对每一节点进行洞悉条件测试,若节点满足以下任意一个条件,则此节点可洞悉而不再被考虑:
·此节点的下限值大于等于Z值。
·已找到在此节点中,具最小下限值的可行解;若此条件成立,则需比较此可行解与Z值,若前者较小,则需更新Z值,以此为可行解的值。
·此节点不可能包含可行解。
步骤五:判断是否仍有尚未被洞悉的节点,如果有,则进行步骤二,如果已无尚未被洞悉的节点,则演算停止,并得到最优解。
Kolen等曾利用此方法求解含时间窗约束的车辆巡回问题,其实验的节点数范围为6-15。当节点数为6时,计算机演算所花费的时间大约1分钟(计算机型为VAZ11/785),当节点数扩大至12时,计算机有内存不足的现象产生,所以分枝定界法比较适用于求解小型问题。Held和Karp指出分枝定界法的求解效率,与其界限设定的宽紧有极大的关系。
算法分析
1、算法优点:可以求得最优解、平均速度快。
因为从最小下界分支,每次算完限界后,把搜索树上当前所有的叶子结点的限界进行比较,找出限界最小的结点,此结点即为下次分支的结点。这种决策的优点是检查子问题较少,能较快的求得最佳解。
2、缺点:要存储很多叶子结点的限界和对应的耗费矩阵。花费很多内存空间。
存在的问题:分支定界法可应用于大量组合优化问题。其关键技术在于各结点权值如何估计,可以说一个分支定界求解方法的效率基本上由值界方法决定,若界估计不好,在极端情况下将与穷举搜索没多大区别。