离散频谱校正理论和技术,不知道大家对这个名词熟不熟悉.近来在论坛上看到一些帖子讨论为何经FFT得到的幅值、频率和相位不准的。其实前面我也发过一篇介绍离散频谱校正的综述性的文章，可能大家都忙，没时间去看，呵呵，这里我就我的理解，把离散频谱分析的误差来源和校正方法做个简单的介绍。另外，我想借这个机会了解下，在实际的应用过程中，非常精确的提取这些参数有没有必要，大家平常也没有碰到由于误差而带来的困扰，例如不能对故障做出判断，甚至出现错判的例子。大家平常用离散频谱校正用的多不多？
离散频谱分析的误差产生的原因主要来自两方面，一方面是由于时域加窗截断产生的频域连续化，另一方面是由于计算机只能对有限的离散的频率进行计算，也即是频域离散化的结果。其中，加窗截断的影响使一个无穷长单频率信号在频域对应的一根谱线，变成一个连续谱，以加矩形窗为例，则是变成一个sinc型函数的形状，其峰值对应的频率即为单频信号的频率。但是由于频域的离散化，我们用FFT计算的频率一般都不会刚好会落在峰值处，这就是我们平时常说的泄露，这时我们就只能把计算得到的峰值谱线对应的频率做为估计的频率，如果以频率分辨率fs/N做归一（即把频率分辨率看成1）的话，这个估计的频率的最大绝对值误差就是0.5,而幅值误差则依赖于加的窗的类型，由于矩形窗主瓣宽度为2，频谱开状较尖，幅值误差也就大。至于相位的最大误差则会相应的达到正负90度，已经完全不能用了。
离散频谱校正就是针对这种误差提出的各种校正出实际的频率、幅值和相位的一门理论和技术。国内现在比较常用的方法有比值（插值）法、能量重心法、FFT+FT法和相位差法，都有其各自的特点和优缺点。这里我给出一个比值校正法的程序供大家一起研究下。
当然，对于多频率成分的信号来说，离散频谱分析的另一个误差是来自于频率之间的相互干涉，这也是由于泄露所引起的，这个误差则
主要靠加窗抑制旁瓣和减小频率分辨率、拉大频率间的距离(可通过ZFFT实现)来尽量减小。
%SpectrumCorrect_Test.m
closeall;
clearall;
clc;
fs=1024;
N=1024;
t=(0:N-1)/fs;
x=4*cos(2*pi*80*t+30*pi/180)+3*cos(2*pi*150.232*t+80*pi/180)+1*cos(2*pi*253.5453*t+240*pi/180);
xf=fft(x);
xf=xf(1:N/2)/N*2;
XfCorrect=SpectrumCorrect(xf,3,1);
XfCorrect(:,1)=XfCorrect(:,1)*fs/N;
XfCorrect
w=hann(N,'periodic');
xfw=fft(x.*w');
xfw=xfw(1:N/2)/N*4;
XfCorrectW=SpectrumCorrect(xfw,3,2);
XfCorrectW(:,1)=XfCorrectW(:,1)*fs/N;
XfCorrectW
%离散频谱比值校正法byyangzj2007.4.28
%
%xf为FFT后的复数谱
%CorrectNum为校正的谱线条数，即校正最大的CorrectNum条
%WindowType为加窗类型，１为矩形窗，2为Hanning窗
%
%SpectrumCorrect.m
functionXfCorrect=SpectrumCorrect(xf,CorrectNum,WindowType)
XfCorrect=zeros(CorrectNum,3);
fori=1:CorrectNum
A=abs(xf);
=max(A);
phmax=angle(xf(index));
%比值法
%加矩形窗
if(WindowType==1)
indsecL=A(index-1)>A(index+1);
df=indsecL.*A(index-1)./(Amax+A(index-1))-(1-indsecL).*A(index+1)./(Amax+A(index+1));
XfCorrect(i,1)=index-1-df;
XfCorrect(i,2)=Amax/sinc(df);
XfCorrect(i,3)=(phmax+pi*df)*180/pi;
xf(index-2:index+2)=zeros(1,5);
end
%比值法
%加Hanning窗
if(WindowType==2)
indsecL=A(index-1)>A(index+1);
df=indsecL.*(2*A(index-1)-Amax)./(Amax+A(index-1))-(1-indsecL).*(2*A(index+1)-Amax)./(Amax+A(index+1));
XfCorrect(i,1)=index-1-df;
XfCorrect(i,2)=(1-df^2)*Amax/sinc(df);
XfCorrect(i,3)=(phmax+pi*df)*180/pi;
xf(index-4:index+4)=zeros(1,9);
end
XfCorrect(i,3)=mod(XfCorrect(i,3),360);
XfCorrect(i,3)=XfCorrect(i,3)-(XfCorrect(i,3)>180)*360;
end
运行结果
XfCorrect=
80.00144.001629.8261
150.23332.998179.7127
253.53970.9996-118.7272
XfCorrectW=
80.00004.000030.0000
150.23203.000080.0000
253.54531.0000-120.0002