**关于有效数字与数据修约的讨论**
**1微小误差准则**
误差的概念包括误差元和误差范围这两层含义。测得值减真值是误差元，误差元绝对值的最大可能值是误差范围。误差是误差元与误差范围的统称或简称。
若甲误差比乙误差大一个量级以上，称乙误差为微小误差，微小误差可略。
微小误差可略，表征测量结果的数据，就不必写得过长，只保留有效数字。
微小误差准则：凡是对误差值的构成作用小于该误差1/20(或1/10)的分项误差，称微小误差，微小误差可略。小于误差的1/20，这个标准比较高，可用于标准和重要的工程中；一般测量，此值可取为1/10。
**2有效数字的新概念**
有效数字与精度密切相关。没有精度的概念，就谈不上有效数字。
精度决定有效数字。不能说有效数字决定精度。《计量知识手册》上有段话，说明如何从有效数字断定精度，请看该书167页：
“国际电学单位安培定义中规定的2×10-7牛这一量值，有效数字为一位，‘2’即为有效数字。从这一表达式表明：安培的实际值允许偏差在1.5×10-7N至2.5×10-7N之间。”
请看，这可真是错得让人吃惊!安培是七大基本单位之一，定义安培的力如果“允许偏差在1.5×10-7N至2.5×10-7N之间。”那相当于电流从0.75安变到1.25安，这还算甚么标准。原来写书的人没弄清讲究有效数字的前提条件，对测得值讲有效数字，对某些写不尽准确值的常数取近似值时讲究有效数字，而安培定义中的2是定义值，是准确值，可视后边带无限个零。2就是2，不可说它是别的什么值。
定义有效数字有两条思路：第一种，描述有效数字误差有多大；第二种，为保证精度，应如何取有效数字。许多书籍是第一种思路。
《数学小辞典》上说：“对于实数X，如果它的近似数是X*，当X*的绝对误差最多不超过左边第一个非零数字算起第K位上的半个单位，这时我们说近似数X*有K个有效数字，并把左边第一个非零数字算起到第K位止的这K个数字都叫做近似数X*的有效数字”。
这个定义只表明保留的数字是按4舍5入法处理的。有效数字理论的主要应用场合是测量的实践，其基本任务是正确表达测量结果。上述定义能完成这个任务吗？不能。
让我们沿着第二种思路，重来。
有效数字概念的理论基础是微小误差准则。
一个数据，位数取得过多，多写了无用的尾数，麻烦，不该；位数取少了，影响精度，更不可。合适地取数据的位数，就是有效数字理论的任务。
测量有误差，微小误差可略。误差使数据分为肯定位、随机位与多余位。肯定位在前，随机位在后，多余位是尾部。肯定位、随机位上的数字，对测量结果有意义，统称有效数字，多余位上的数字对表达测量结果无意义，是无效数字。保留有效数字，舍弃或进位多余位上的数字，这称有效数字处理，又称数据修约。去掉多余位上的数字，本文简称为截位。舍弃或进位多余数字产生的误差称截位误差（舍进误差）。截位误差必须是微小误差。由微小误差准则，微小误差可略，因而这种截位是合理的。截位的方法是：被截位上的数小于5，舍弃；大于5，进位，即上位加1；被截位恰为5时，上位是奇数时进位，上位是偶数时舍弃。截位误差不大于最低保留位上单位的二分之一，它应是微小误差（比较标准是数据自身的误差）。有些数，例如π、根号2这些数自身无误差可言，取近似值时，要根据计算结果精度对它的要求来处理：截位误差对计算结果的影响量，应是微小误差。
误差量本身该取几位有效数字，是个关键问题，由此决定数据有效数字位数。误差量的截位误差应是微小误差，比较标准是误差自身。举几个极端情况，计算一下便知：误差取两位即可。
例如，误差计算结果是1.050，从左数第3位起截去，截位误差为0.05，即为误差自身的1/20。这是误差取两位时的最大截位误差，即极限情况。由此可见，误差取两位足够，取三位就显得多了。那么误差取一位行吗？如果误差量第一位数字是5或大于5，则取一位的最大误差是1/10，这时取一位可以；但第一位数字是4或小于4，若取一位，则截位误差不能保证小于1/10，故必须取两位。
这样，一般情况下，误差取两位。若误差量第一位是5以上，则误差可取一位，数据显得简洁；但第一位是4或4以下，则必须取两位。例如误差第一位是2，取一位，截位误差可能达到误差的1/4；若第一位数字是1，则截位误差可能达到误差的1/2。此二例违反微小误差准则，不行。这里要提一句，我国有关标准《测量误差及数据处理》（JJG1027-97）的6.6.2“总不确定度只取1至2位有效位”，是不严谨的。应说明对精密测量，误差第一位是低数字时必须取两位。
误差的有效数字位取定后，便可处理数据本身的有效数字。误差的最低位与数据本身同一位对齐，数据此位及左边各高位数字保留，右边低位做舍弃或进位处理。易见，数据舍位误差必是微小误差。
简言之，有效数字是被保留的对表达测量结果有意义位上的数字。
我们回过头来，评价一下前面引述过的教科书上关于有效数字的定义。①未指明有效数字的应用对象是测得值；②未说明有效数字问题的根源是测量误差的存在，未点出微小误差准则在决定有效数字位数时的作用；③说舍位误差不大于保留位上单位的二分之一，只能说明舍位是4舍5入，对如何正确选取有效数字位数并无帮助；④定义者与被定义者内涵不符（未说明什么是有效什么是无效）；⑤定义者与被定义者外延不等（符合定义的数字不一定都是有效数字）。这个定义是关于有效数字的无效定义。
有效数字的新定义如下。
**定义有效数字
从数据的第一个非零数字位计起，若第K位上单位的一半始成微小误差，这K位上的数字称有效数字，且称此数据有K位有效数字。第K+1位及以下位，舍去；舍位误差不大于第K位单位的一半。**
实际应用中，误差取两位有效数字；测得值数据最低位保留到与误差的最低位对齐。更低位按舍位规则处理。
定义值、名义值、标称值、要求值，这些非测得值，有几位写几位，不讲究有效数字，实际是看作无限精确值。