**关于自由度的思索——九评不确定度论**
史锦顺
推行不确定度论的《JJF1059.1测量不确定度评定与表示》，关于自由度的条款为（有下划线的是原文）：
4.26自由度
在方差的计算中，和的项数减去对和的限制数。
注：
1在重复性条件下，对被测量作n次独立测量时所得的样本方差为
（ν1^2+ν2^2+……+νn^2）/(n-1)，其中ν1=X1-X平，ν2=X2-X平……νn=Xn-X平。因此，和的项数即为残差的个数n，而当n较大时残差之和等于零（本网页格式限制，表意如此）是一个约束条件，即限制数为1。由此可得自由度ν=n-1。
**【史评】**
“当n较大时”这话是不对的。残差之和等于零是普适的，不需要n较大这个条件。证明很简单，对vi求和，有两项：被减数和减数。被减数求和得数据总和；减数是平均值，等于数据总合除以n,求和就是乘n(求和时共利用平均值n次)仍得数据总和。被减数与减数都是数据总和，二者相等，差值为零。
我的这段话，是我在某网上给《JJF1059.1》（预发稿）提意见时说的，竟有两个网友说我说的不对。趁此系列评论的机会，再详细表述一下。
残差一词来自经典测量学，什么叫残差？
误差理论的书上写得很明白，本条款也写得明白：测量得到的值减去平均值即（Xi-X平）就是残差。残差之和为零，证明很简单，上边已说过，不再重复。现举例说说。
n=2：ν1=X1-(X1+X2)/2；ν2=X2-(X1+X2)/2
残差之和=ν1+ν2=X1+X2-(X1+X2)=0
n=3：ν1=X1-(X1+X2+X3)/3；ν2=X2-(X1+X2+X3)/3；ν3=X3-(X1+X2+X3)/3
残差之和=ν1+ν2+ν3=X1+X2+X3-(X1+X2+X3)=0
同理，n等于任何值，残差之和都为零。这里特别写出n=2、n=3成立，可见残差之和为零不要求n较大这个条件。
现考虑较深入的问题。n是数据量，即独立测量的个数。谈自由度，应是有多少个独立测量，就有多少个数据，就有多少自由度。自由度是对独立测量说的，是对数据说的，自由度是多少，本质说的是数据有多少个取值的可能。标准方差中是用偏差Xi-EX，是n个自由度，怎么到贝塞尔公式中用平均值代替数学期望，数据量还是n个，而自由度竟变成n-1了？如果取值的自由度是n-1,则应是有n-1个数据就决定一切了，第n个数据不起作用，是个没有自由度的必然量。这是不符合事实的，n个数据，哪个也不能少。例如取2个数据，是2个自由度，如果已知二数据之和为b，则知道X1，必知X2是b-X1,因而是1个自由度。但取残差平方和时是一个也不能少的。具体计算一下。
^2+^2=(X1-X2)^2/4
式中X1、X2都在，哪个也不能缺，仍是2个自由度。
因此，说残差之和等于零是一个约束条件，即限制数为1。由此可得自由度ν=n-1。这句话很多书上都有，但值得商榷。n个数据的自由度是n,而不是n-1。公式中用到数据之和，设为Z，这是多出一个量，自由度该加1，而多出的Z等于数据之和是约束条件，要减去1，自由度加1又减1，还是n。
不确定度论大讲自由度，其实自由度并不是不确定度论的产物，是早就有的。自由度该取几的争论，也就算不上是分歧点，不论也罢。
2011年2月，JJF1059.1《测量不确定度评定与表示》规范制修订起草小组，提出“本规范弱化了对给出自由度的要求”，这是正确的。
自由度的概念，无实际用途，难解难算，样板评定中有人用，除数据量的自由度取n-1外，都是些随意的估计。笔者的意见是：既然弱化，就弱化到零吧。