**误差方程的推导**-《新概念测量计量学》讨论14
史锦顺
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误差定义为测得值与被测量真值之差，既通俗又确切。这是误差的物理意义。然而用标准的标称值当真值，实测的误差值是误差的实验值，怎样从误差的实验值算出误差值（或叫真误差值），这要靠“误差方程”。
M表示测得值，Z表示真值。Z(N).表示N级标准的真值，M(N)为N级标准仪器的测得值。B(N)为N级标准的标称值。r表示误差元，R表误差范围。
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（1）检验测量仪器误差`，要用N级标准测量仪器或N级标准器。
A用被检测量仪器和N级标准测量仪器同测一量（其真值为Z），被检测量仪器测得值为M，N级标准测量仪器测得值为M(N)。
M–Z=M–M(N)+M(N)–Z
r=r(实验)+R(N)
操作时，使差别最大；或综合估计最大值，得误差范围。（下同。）
R=R(实验)+R(N)（1）
B用被检测量仪器测量N级标准器，其标称值B(N)、真值Z(N)
M–Z(N)=M–B(N)+B(N)–Z(N)
R=R(实验)+R(N)（1）
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（2）检验N级标准测量仪器的误差或检验N级标准器的误差，要用N-1级标准测量仪器或N-1级标准器。
A测同一量，N级标准测量仪器测得值为M(N)，N-1级测量仪器测得值为M(N-1)
M(N)–Z=M(N)–M(N-1)+M(N-1)–Z
R=R(N实验)+R(N-1)（2）
B用N级标准测量仪器测量N-1级标准器，其标称值B(N-1)、真值Z(N-1)
M(N)–Z(N-1)=M(N)–B(N-1)+B(N-1)–Z(N-1)
R(N)=R(N实验)+R(N-1)（2）
C测量N级标准器的误差，要用N-1级标准测量仪器来测它
B(N)–Z(N)=B(N)–M(N-1)+M(N-1)–Z(N)
R(N)=R(N实验)+R(N-1)（2）
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（3）同理可知
R(N-1)=R(N-1实验)+R(N-2)（3）
R(N-2)=R(N-2实验)+R(N-3)（4）
……
R(2)=R(2实验)+R(1);（5）
R(1)=R(1实验)+R(0)（6）
R0是基准误差，由基准给出。
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以上各式逐一写出，并用后式代替前式的最后一项，有
R=R(实验)+R(N)
R=R(实验)+R(N实验)+R(N-1)
R=R(实验)+R(N实验)+R(N-1实验)+R(N-2)
R=R(实验)+R(N实验)+R(N-1实验)+R(N-2实验)+R(N-3)
以下再代换掉R(N-3)……，最后成为
R=R(实验)+R(N实验)+R(N-1实验)+R(N-2实验)+……
+R(2实验)+R(1实验)+R(0)
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量值传递关系决定的级间误差范围之比值（上一级比下一级）为系数q，将以上各级误差实验值表为R(N实验)的倍数（^表乘方，*表相乘）
R=R(实验)+R(N实验)+qR(N实验)+q^2*R(N实验)+……
+q^(N-2)*R(N实验)+q^(N-1)*R(N实验)+q^N*R(N实验)
第2项以后把公因子R(N实验)提出，成为首项为1，比值为q的N+1项的等比级数，
R=R(实验)+R(N实验)
等比级数求和，略去q的高阶项q^(N+1)。
结果为
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**R=R(实验)+R(N实验)/(1-q)**(7)
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测量仪器误差应纳入系列（或优于），即有R(N实验)=qR(实验)，代入得
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**R=R(实验)/(1-q)**(8)
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(7)(8)就是误差方程。R(实验)可测量，q为已知量，故可算出误差范围。