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**误差方程同贝塞尔公式的比较**-《新概念测量计量学》讨论16
史锦顺
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贝塞尔公式，就是求西格玛的公式，是由德国天文学家、数学家、测量学家贝塞尔（1784-1846）提出的。
测量学中，方差的定义式中，标准值是真值，误差元是测得值与真值之差。贝塞尔公式的核心思想是用平均值来代换真值。方法是定义残差等于测得值减平均值，找残差与误差的关系，以残差代换误差，于是便实现了用平均值代换真值。贝塞尔公式的妙处在于：方差定义必须用真值；而贝塞尔公式中以平均值代换了真值，于是可在实践中应用了。
贝塞尔公式是贝塞尔在天体测量中提出的。因此是地道的测量公式。随后，贝塞尔公式被用于统计理论中。以数学期望为标准，以量值与数学期望之差为偏差元，也成功的实现了以平均值对数学期望的代换。统计理论移植贝塞尔的公式是成功的。
误差方程与贝塞尔公式共同点
第一个共同点：代换的思想
误差方程与贝塞尔公式有相同的思考脉路。就是以可测量的值，代换理想值。
测量用贝塞尔公式，以平均值代换真值。
统计用贝塞尔公式，以平均值代换数学期望。
误差方程，以上一级标准的标称值，代换真值，逐级代换
第二个共同点：微小差量可略
贝塞尔公式推导中，略去各交叉相乘项（可正可负，大体相互抵消）之和。
误差方程推导中，略去等比级数求和中的q的N+1阶项，因q很小于1，此项很小。
第三点，代换结果的形式很像。
贝塞尔公式将真值（期望值）代换成平均值，根号内要乘以系数N/(N-1)，即以1/(N-1)代换原来的1/N。
误差方程将真值代换成上级标准的标称值，代价是乘以系数1/(1-q)，请注意，若以下一级标准对上一级标准的关系，K=1/q，则要乘的系数为K/(K-1)。
第四点，代换的效果都是扩大表征量。
误差方程与贝塞尔公式的差异
代换量的大小比较
贝塞尔公式：
N10203050100
乘根号N/(N-1)1.0541.0261.0171.0101.005
代换后大出+5.4%+2.6%+1.7%+1.0%+0.5%
误差方程
K(1/q)345710
乘K/(K-1)1.501.331.251.171.11
代换后大出+50%+33%+25%+17%+11%
从如上二表易见。误差方程的作用，比贝塞尔公式的实际作用大。
贝塞尔公式成立的条件是N足够大。N该在10以上。特别是精密测量，N应很大。由是，贝塞尔公式的实际作用并不大。方差计算中直接用平均值代换真值（期望值）而前边的系数用N分之一而不用（N-1）分之一，二者差别不大；见到过某些统计书，就这样用。当然，贝塞尔公式的理论意义是重大的。有了贝塞尔公式，人们才放心地用平均值代换真值。贝塞尔公式使测量计量学与统计学的数据处理有了坚实的理论依据。贝塞尔公式是测量计量学与统计理论的理论基础。
误差方程的计算结果，惊人。许多计量项目量值传递系统，q取1/3，即K为3，误差范围是误差范围实验值的1.5倍，对这一点的认识，将促使修订量值传递系统表。
贝塞尔公式已有二百年的历史，它照耀测量计量发展之路。
误差方程刚一周岁，它在吹起测量计量理论改革的号角。