**残差之和必为零**-《新概念测量计量学》讨论20
史锦顺
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贝塞尔公式是测量计量的基本公式，也是统计理论的基本公式。
测量中，得到N个测得值，X(1)，X(2)，……X(N),相加得和数X(和),除以N，得平均值X(平)，定义残差为测得值与平均值之差。
ν(i)=X(i)–X(平)（1）
**定理**残差之和等于零。
**证明**对定义式两边求和，有
Σν(i)=ΣX(i)–ΣX(平)
求和的范围是i从1到N，注意等式右边第一项，对各X(i)求和得X(和)，而第二项，X(平)是常数，共N个。（每次相加用一次，共用N次。）
Σν(i)=X(和)–NX(平)=X(和)–NX(和)/N=0
即残差之和等于零。定理得证。
国家计量规范《JJF1059.1-201X测量不确定度的评定与表示》征求意见稿中，4.26条写到：当N较大时，残差之和为零。
【**史评**】此规范中“N较大”这个条件是不对的。贝塞尔公式成立的条件是N足够大，但残差之和为零不要求N很大，N为任何值，残差之和都等于零。
误差理论的书上写得很明白，上述条款也写得明白：测量得到的值减去平均值即X(i)-X(平)就是残差。残差之和为零，证明很简单，上边已说过，不再重复。现举例说说。
N=2：n(1)=X(1)-/2；
n(2)=X(2)-/2
残差之和=n(1)+n(2)=X(1)+X(2)–=0
N=3：n(1)=X(1)-/3；
n(2)=X(2)-/3
n(3)=X(3)-/3
残差之和=n(1)+n(2)+n(3)=X(1)+X(2)+X(3)-=0
同理，N等于任何值，残差之和都为零。这里特别写出N=2、N=3成立，可见残差之和为零不要求N较大这个条件。
“残差之和为零”这一条规律，有重要应用。在按贝塞尔公式求西格玛时，要把各测得值加起来，再被N除，得到平均值，再将每个测得值减平均值，得到N个残差。N通常很大,这是很繁的操作。计算中是否出错？这时要用残差之和为零的规律检查一下。好的计量工作者已形成习惯，在数据列表中，就有残差之和这一项。对残差求和，等于零，则说明此前操作正确，可继续运算，不等于零，说明计算有误，要返回去差错。
我在某网上给《JJF1059.1-201X》提意见时，指出残差之和等于零不需要N较大这个条件，并发压缩文件证明，奇怪的是竟遭几个网友围攻，不同看法交流讨论是平常事，但不考虑对方意见是否有道理，而是单凭自己的一知半解，一味反对，就没意思了。且莫习惯于对“权威”对迷信或轻信，切莫人云亦云。要勤于思考，学会证明。你瞧不起我，我无所谓；但自己封闭视听，就难以上进了。何况残差之和为零不要求N大这一点，并非史锦顺的发现，而是老一点精密测量人员的常识，是算西格玛时，检查计算过程是否有错的常用手段。笔者深感遗憾的是，二十年来宣扬不确定度论的一个不良后果是理论水平的降低。国家级规范的起草人，犯常识性错误；而许多人对简单的错误缺乏鉴别力。笔者呼吁：加强测量计量的理论建设！排除不确定度论的干扰，学点测量计量理论的真东西！