**自由度是N不是N-1**-《新概念测量计量学》讨论21
史锦顺
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在对贝塞尔公式的宣传讲解中，出现一个自由度问题。
《JJF1059.1测量不确定度评定与表示》，关于自由度的条款为（有下划线的是原文）：
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4.26自由度
在方差的计算中，和的项数减去对和的限制数。
注：
1在重复性条件下，对被测量作N次独立测量时所得的样本方差为
（n(1)^2+n(2)^2+……+n(N)^2）/(N-1)，其中n(1)=X(1)-X(平)，n(2)=X(2)-X(平)……n(N)=X(N)-X(平)。因此，和的项数即为残差的个数N,而当N较大时残差之和等于零（本网页格式限制，表意如此）是一个约束条件，即限制数为1。由此可得自由度n=N-1。
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此条款中的N较大一语是不正确的。残差之和为零是必然的，不要求N较大这个条件。上节已说明，本节谈自由度。
N是数据量，即独立测量的个数。谈自由度，应是有多少个独立测量，就有多少个数据，就有多少自由度。自由度是对独立测量说的，是对数据说的，自由度是多少，本质上说的是数据有多少个取值的可能。标准方差中定义中是用偏差X(i)-EX，是N个自由度，怎么到贝塞尔公式中用平均值代替数学期望，数据量还是N个，而自由度竟变成N-1了？如果取值的自由度是N-1,则应是有N-1个数据就决定一切了，第N个数据不起作用，是个没有自由度的必然量。这是不符合事实的，N个数据，哪个也不能少。例如取2个数据，是2个自由度，如果已知二数据之和为b，则知道X(1)，必知X(2)是b-X(1),因而是1个自由度。但取残差平方和时是一个也不能少的。具体计算一下。
{X(1)-/2]}^2+{X(2)-/2}^2=^2/4
式中X(1)、X(2)都在，哪个也不能缺，仍是2个自由度。
因此，说残差之和等于零是一个约束条件，即限制数为1。由此可得自由度n=N-1。这句话是不对的。N个数据的自由度是N,而不是N-1。公式中用到数据之和，设为Z，这是多出一个值，自由度该加1，而多出的Z等于数据之和是约束条件，要减去1，自由度加1又减1，还是N。
2011年2月，JJF1059.1《测量不确定度评定与表示》规范制修订起草小组，提出“本规范弱化了对给出自由度的要求”，这是正确的。
自由度的概念，在测量计量工作中，无实际用途，难解难算，样板评定中有人用，除数据量的自由度取N-1外，都是些随意的估计。笔者的意见是：既然弱化，就弱化到零吧。
贝塞尔公式中的N-1是用平均值代换真值的必然结果，是代换因子N/(N-1)中的一部分，和自由度扯不到一起去。在误差方程中，以上级标准的标称值代换真值时，出现的代换因子是K/(K-1),这里没有自由度问题，也出现类似N-1的K-1问题，更扯不到自由度上去。
一段时间中，人们单看贝塞尔公式，产生N-1是自由度的错觉。当我们推导得到误差方程之后，我们从较高和较广的角度来看问题，认定：贝塞尔公式中的出现的变换因子N/(N-1)、误差方程中出现的变换因子K/(K-1)，都是以现实值代换理想值的变换中出现的误差范围的扩大量。
N-1与自由度无关。贝塞尔公式由N个变量构成，一定要谈自由度的话，自由度是N而不是N-1。
笔者认为，测量计量理论是实用性极强的理论，又是必须大普及的大众理论，以简约、明确为好。数据量就是测量次数，是不必奢谈自由度的。建议在测量计量界把自由度的概念淡化为零——也就是不必提它。