自由度是N不是N-1 -《新概念测量计量学》讨论21

  史锦顺 ·  2011-08-21 06:57  ·  61114 次点击
**自由度是N不是N-1**-《新概念测量计量学》讨论21
史锦顺
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在对贝塞尔公式的宣传讲解中,出现一个自由度问题。
《JJF1059.1测量不确定度评定与表示》,关于自由度的条款为(有下划线的是原文):
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4.26自由度
在方差的计算中,和的项数减去对和的限制数。
注:
1在重复性条件下,对被测量作N次独立测量时所得的样本方差为
(n(1)^2+n(2)^2+……+n(N)^2)/(N-1),其中n(1)=X(1)-X(平),n(2)=X(2)-X(平)……n(N)=X(N)-X(平)。因此,和的项数即为残差的个数N,而当N较大时残差之和等于零(本网页格式限制,表意如此)是一个约束条件,即限制数为1。由此可得自由度n=N-1。
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此条款中的N较大一语是不正确的。残差之和为零是必然的,不要求N较大这个条件。上节已说明,本节谈自由度。
N是数据量,即独立测量的个数。谈自由度,应是有多少个独立测量,就有多少个数据,就有多少自由度。自由度是对独立测量说的,是对数据说的,自由度是多少,本质上说的是数据有多少个取值的可能。标准方差中定义中是用偏差X(i)-EX,是N个自由度,怎么到贝塞尔公式中用平均值代替数学期望,数据量还是N个,而自由度竟变成N-1了?如果取值的自由度是N-1,则应是有N-1个数据就决定一切了,第N个数据不起作用,是个没有自由度的必然量。这是不符合事实的,N个数据,哪个也不能少。例如取2个数据,是2个自由度,如果已知二数据之和为b,则知道X(1),必知X(2)是b-X(1),因而是1个自由度。但取残差平方和时是一个也不能少的。具体计算一下。
{X(1)-/2]}^2+{X(2)-/2}^2=^2/4
式中X(1)、X(2)都在,哪个也不能缺,仍是2个自由度。
因此,说残差之和等于零是一个约束条件,即限制数为1。由此可得自由度n=N-1。这句话是不对的。N个数据的自由度是N,而不是N-1。公式中用到数据之和,设为Z,这是多出一个值,自由度该加1,而多出的Z等于数据之和是约束条件,要减去1,自由度加1又减1,还是N。
2011年2月,JJF1059.1《测量不确定度评定与表示》规范制修订起草小组,提出“本规范弱化了对给出自由度的要求”,这是正确的。
自由度的概念,在测量计量工作中,无实际用途,难解难算,样板评定中有人用,除数据量的自由度取N-1外,都是些随意的估计。笔者的意见是:既然弱化,就弱化到零吧。
贝塞尔公式中的N-1是用平均值代换真值的必然结果,是代换因子N/(N-1)中的一部分,和自由度扯不到一起去。在误差方程中,以上级标准的标称值代换真值时,出现的代换因子是K/(K-1),这里没有自由度问题,也出现类似N-1的K-1问题,更扯不到自由度上去。
一段时间中,人们单看贝塞尔公式,产生N-1是自由度的错觉。当我们推导得到误差方程之后,我们从较高和较广的角度来看问题,认定:贝塞尔公式中的出现的变换因子N/(N-1)、误差方程中出现的变换因子K/(K-1),都是以现实值代换理想值的变换中出现的误差范围的扩大量。
N-1与自由度无关。贝塞尔公式由N个变量构成,一定要谈自由度的话,自由度是N而不是N-1。
笔者认为,测量计量理论是实用性极强的理论,又是必须大普及的大众理论,以简约、明确为好。数据量就是测量次数,是不必奢谈自由度的。建议在测量计量界把自由度的概念淡化为零——也就是不必提它。

3 条回复

ldzhwu  2011-09-02 10:18
楼主的一些观点如清风扑面,谢谢分享!
大青豆  2011-08-21 17:01
lz说得很不错,最近正在看这方面的书籍
d2018  2011-08-21 08:19
“ 自由度的概念,在测量计量工作中,无实际用途,难解难算,样板评定中有人用,除数据量的自由度取N-1外,都是些随意的估计。”支持史老师的观点。在不确定度评定中,自由度的确“无实际用途,难解难算”,除增加评定难度外,无实际意义。

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