**关于分辨力的讨论**
史锦顺
**1分辨力的意义**
分辨力是测量仪器的性能要素之一。现有的测量学理论，对分辨力关注甚少，以致在应用中常被误解。
分辨力是测量能力的阈值。阈值就是门限、门槛，是测量仪器几项性能的限度。
1量程最小值的限度。
2分散性的最小限度。随机误差、复现性的最小限度。
3不准确性的最小限度。误差元与误差范围的最小限度。
测量仪器的性能指标，必须在测量仪器能分辨得出的条件下，才能谈得上。许多文章，把指标分析得优于、甚至远优于分辨力，是不对的。
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实例1G先生用一台数字式频率计测量他研制的5兆赫高稳晶振，秒采样，显示数100个，都是5000000赫，代入公式计算，西格玛等于零。问我如何计算稳定度。我告诉他，数字式频率计1秒采样的分辨力是1赫，辨别不了1赫以下的频率变化。这个测量只能说明，你的晶振的性能，稳定性优于2E-7。
把100个测得值代入公式算，不稳定度是零，但这种计算无效。正确的作法是更换测量仪器，用频标比对器。该比对器采用微差倍增法(等效频率乘20000)，使分辨力提高到1E-11。再用计算计数器，扩展100倍，分辨力达到1E-13，这样才能正确测出高稳晶振的稳定度。后来，此人研制的晶振，荣获第一届全国晶振比对长稳第1名。
以上这个例子比较极端，不能将相同的数据代入公式计算这一点，比较容易识别。大量书籍、文献中，甚至样板评定中，数据最大变化仅为2，甚至仅为1，也代入贝塞尔公式计算，这是不妥当的。笔者认为，计算得到的西格玛一般不能小于分辨力的二分之一，或者最小不能小于分辨力的三分之一。这样才能符合分辨力是最小识别范围的逻辑。精密测量要求有高的分辨力。数据变化量要在分辨力的三倍一上，否则不能动用贝塞尔公式。
实例2一根钢棒，用米尺量，测得值100.5mm；用游标卡尺量100.00mm用千分尺量100.02mm。经比长仪测量得100.000mm。有人据此评论说，考察米尺、游标卡尺、千分尺的性能时，比长仪的测得值可视为真值，因此这组测量,米尺测量误差为0.5mm；游标卡尺误差为零，即不准确度为零；千分尺的误差为0.02mm。此评价忘了分辨力的作用。游标卡尺分辨力为0.05mm，算误差不能小于分辨力，因此游标卡尺的误差给法最低是0.05mm，而不能是零。
有人问：测得值减真值是误差吗，怎么上边对游标卡尺的计算不对？
可以这样理解，游标卡尺的测得值L(D)应写成
L(D)=100.00mm±0.05mm
设真值L(Z)是100.000mm，则误差为L(D)减L(Z)，就不会得零了，而是得±0.05mm。因此，即使测得值等于真值，测量误差的最小值是分辨力，而不应是零。
**2误差理论对分辨力的处理**
误差理论讲到分辨力时，通常认为：若分辨力是D,则分辨力的误差范围是±D。也可表示为误差范围。
计数式频率计，分辨力为尾数的一个字，引进误差为加减一个字，并且有专有名称，叫“正负1误差”。例如0.1秒采样（闸门时间0.1秒），计数器尾数一个字代表10赫，因而分辨力引入的测量误差范围是±10赫。
以上误差理论对分辨力的认识，载于各种书籍，特别是载于各种计数式频率计的说明书，就不再给文献出处了。
**3不确定度论对分辨力的处理**
不确定度论对分辨力处理的规范作法是：设分辨力是D，其半宽为D/2，均匀分布，除以根号3，得标准不确定度为0.29D。
不确定度论的这个对分辨力认识，载于众多文献。
**4关于分辨力的讨论**
设分辨力是D，误差论认为此项误差的误差范围区间是误差区间的宽度是2D，半宽度是D。
不确定度论认为：分辨力是D，不确定度区间半宽度是D/2
两种理论对分辨力的处理，差别甚大，是两倍关系。
本文论证：误差论对分辨力的认识是正确的；不确定度论对分辨力的认识是错误的。
我们做实验如下。
实验1取一台电子案秤。最低位为1克，即分辨力是1克。
我们来做分辨力实验。用案秤测量10克砝码，显示为10克。加标称值为100毫克的砝码（以下加减砝码，都指100毫克砝码），加一个到3个砝码，显示都是10克；加4个砝码，显示为11克，加5个到13个砝码显示都是11克；加14个砝码时显示为12克，加15个到23个砝码，显示都是为13克。分辨力是10个100毫克的砝码，即1克。
我们看，加4个砝码（物重10.4克）时，显示为11克。再加9个砝码，显示仍为11克，就是说，在测量10.4克时，加9个砝码，仍分辨不出。
加13个砝码时（物重11.3克）时，显示为11克，减去9个砝码，显示仍为11克，减去9个砝码仍分辨不出。
分辨不出的情况，砝码增减的最大可能是加减9个砝码，因此其范围是加减0.9克。下表单位是1克。
重物显示重物可能值砝码重量变化范围(偏差可能范围)
10.41110.4——11.30——0.9
10.51110.4——11.3-0.1——0.8
10.61110.4——11.3-0.2——0.7
10.71110.4——11.3-0.3——0.6
10.81110.4——11.3-0.4——0.5
10.91110.4——11.3-0.5——0.4
11.01110.4——11.3-0.6——0.3
11.11110.4——11.3-0.7——0.2
11.21110.4——11.3-0.8——0.1
11.31110.4——11.3-0.9——0
11.41211.4——12.30——0.9
此实验可以更细，增减的砝码小到10毫克或1毫克，于是相应的范围成为加减0.99克或加减0.999克。
因此，变化范围应为。
由上，分辨力是1克的电子秤，分辨范围是加减1克。
结论：分辨力是1，则按范围写出是正负1。因此除以2是不对的。
我们再从示值误差的角度来讨论。
示值是以克为单位的整数。而被测物的重量是有各种可能的数。整数的转换点不同，则示值误差不同。
转换点内区间被测物重示值示值最大误差元
10.0110.9910.01110.99
10.111.010.1110.9
10.211.110.2110.8
10.311.210.3110.7
10.411.310.4110.6
10.511.410.5110.5
10.611.511.511-0.5
10.711.611.611-0.6
10.811.711.711-0.7
10.911.811.811-0.8
10.9111.911.911-0.9
10.9911.9811.9811-0.98
10.99911.99811.99811-0.998
例2，取一台数字式频率计。其原理是在标准的闸门时间内数被测频率的脉冲数。
被测频率1.1赫，即周期0.9秒，在1秒的闸门时间中，可能出现两个脉冲，测得值2赫，误差为0.9赫。若被测频率是0.9赫，即周期为1.1秒，一个采样时段中，可能一个脉冲都不出现，测得值0赫，误差为负0.9赫。
若被测频率是1.01赫，测得值可能为2赫，误差最大可能是0.99赫；被测频率是0.99赫，测得值可能为0赫，误差的极端值是负0.99赫。因而，当采样时间为1秒时，计数器一个字的分辨力的误差范围是,误差范围的半宽度是1赫。
样板评定实例0.1秒采样。即闸门时间为0.1秒。计数器每记得一个数，代表10赫。由此，区间半宽度是10赫。样板评定以10赫除以2，得5赫做为区间半宽，这是不对的。
**结论**测量仪器的分辨力是D，误差范围是，包含区间的宽度2D，区间半宽度是D。数字式仪表的分辨力D是最低位的一个字，误差范围是，区间的半宽是一个字所代表的量。
对分辨力的认识，误差理论是正确的；不确定度论是错误的。
参考文献
GUM
《不确定度原理》刘智敏著
国家计量技术统一宣贯教材《测量不确定度评定与表示指南》国家质量技术监督局组编