研究史料不难看出，中国古代的角度计量，在相当长一段历史时期处于“有角无度”的定性阶段，所以那些涉及“平面度”“垂直度”等与角度定量分析有关的计量器具和测量方法，始终难以列入国家法定计量管理范畴。自古以来，“矩”作为角度计量器具，仅是“规圆矩方”之工具；而“用矩之道”作为算数之学的例题，被记载在中国古代算经之中。自《周髀》成书问世以来，已逾两千多年，该书记载的“规圆矩方”的“用矩之道”等计量测量技艺，在社会生产领域始终在“百工”等各种制造技能中流传。
1.webp.jpg
一、关于“有角无度”
我们的先辈在认识客观世界的实践中，最早通过观察太阳、月亮的变化，认识的几何图形是“圆、方、矩、角”———圆形、正方形、直角三角形、角至圆及圆至角的演化，发现了它们围绕着“角”这一可计量的量，并且具有相互导出的科学关系。“没有规矩不成方圆”说的就是这个演变规律。从现代科学的角度分析，我们祖先所认识的“圆”这一可计量的量，尚未达到以圆心角“划角分度”的定量分析水平，而是沿着“平直求矩”的认识途径，探索“圆出于方、方出于矩”的“有角无度”的计量方法。
二、“无度之角”源于“伸圆展方”“勾股共结一角”
《周髀算经》载:昔者周公问于商高曰，“窃闻乎大夫善数也，请问古者包羲(伏羲)立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰，“数之法，出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一，故折矩以为句广三，股修四，径隅五。既方之外半其一矩，环而共盘得成三四五，两矩共长二十有五是谓积矩。故禹之所以治天下者此数之所生也”。上述记载，正是中国古代对几何量角度“有角无度”计量的详细描述。
通常人们熟知的《周髀算经》，其实原为《周髀》，至唐朝李淳风奉勑注释，列为中国古代十大算经之首，那时起才始称《周髀算经》。李淳风注释:商高曰，“数之法，出于圆方”时讲到，“圆径一而周三，方径一而匝四，伸圆之周而为句，展方之匝而为股，共结一角，邪适弦五。此圆方邪径相通之率，故曰数之法出于圆方者，天地之形阴阳之数。”此段注释用圆的直径为一，周长为三的测量结果，介绍了中国最古老的圆周率“径一周三”；在此圆内做圆内接正方形，由“径一”而引出正方形四条边为“匝四”。通过“伸圆之周而为句和展方之匝而为股”遂使“方”“圆”与数通过圆的直径为“一”联系在一起，“伸圆”与“展方”“共结一角”。这是出现在我国古代算经上讲述的“角”的形成即“角”的概念。在其后，李淳风注释:“以为句广三，股修四，径隅五”，讲到“自然相应之率经直隅角也”即“伸圆”与“展方”“共结一角”此角为“直隅角”。
何为“直隅角”？我们的祖先在生产实践中很早就发现“角”是一种可计量的量，并能区分出角的大小、确定角的量值。“伸圆”与“展方”“共结一角”就是中国古代数学、计量学发展进程中给“角”这一可计量的量进行的定义，同时也是以“伸圆”与“展方”“共结一角”为方法画出一个特定“角”的图形之统一方法。这种方法确定的“角”虽然是一个定量值，但尚达不到用数和量进行表征、表述任意“角”的量的科学水平。从计量科学的定义出发，中国古代对“角”的认识，处在定性区别向定量分析发展的阶段。从现代数学和计量学出发，中国古代对“角”的认识处在“有角无度”的水平———认识“角”的客观存在，但尚未找到准确的“分角为度”的计量测量方法。
考证史料发现，世界上关于“分角为度”之“角度”的起源，流行的说法主要有:一是早在公元前3000年，生活在现伊拉克南部的古苏美尔人计算太阳绕地球运行一周为360天，太阳的运行轨迹是一个圆，于是，人们把圆分为360个等份，这是最古老的圆心角为360的说法；二是公元前130年，古巴比伦人经过测量，得出春秋分日时日出至日落的运行轨迹恰等于180个太阳直径的长度，遂定太阳绕地球一周为360个太阳的直径，将太阳直径作为间隔，每一个太阳直径为一度，由此出现了“360度圆心角分角体系”。
三、中国古代不用“度”表示的角
很多史料表明，中国古人不用“度”表示“角”。归纳例举在汉语语汇中表示“角”的字词有:
1.“隅”(yú):角也、方角。物之方者皆有四隅。
2.“方”:与“圆”相对。四角都是直角的四边形或六面都是直角的四边形的立体。
3.“觚”(gū)，其解:(1)为古代酒器。《周礼》中说:爵一升，觚二升。(2)为棱角。《汉书·律历志》中有“六觚为一握”之记载。【苏林曰:“六觚，六角也。度角至角，其度一寸，面容一分，算九枚，相因之数有十，正面之数实九，其表六九五十四，算中积凡得二百七十一枚。”】，其中“六觚”是指用算筹做出圆内接正六边形。此法是“度角至角”之术。“觚”为正六边形的内角。同时，此术还是中华古代数学科学最早发明使用“割圆术”的典型实例。通过“六觚为一握”将圆周长分割为六等份，即通过算筹图形证实了“径一周三”圆周率源于中国最古老的“割圆术”。另有《周礼·冬官考工记·筑氏为削》:“筑氏为削，长尺博寸，合六而成规。”《康熙字典》:【注】:“今之书刀。”【疏】:“古者未有纸笔以削刻字，至汉虽有纸笔仍有书刀是古之遗法也。”周朝时，筑氏是专门制造“削刀”的工匠，刻字的“削刀”长一尺，宽一寸。刀的形状带有一定的弧度，将六把削刀首尾相连接可以组成规范的圆形。“合六而成规”讲的是将圆弧分为六等份，此圆弧恰是圆内接正六边形的弧长。说明筑氏为削运用的是“六觚为一握的测量原理”。
4.“桷”(jué)，方形的椽子。《诗经·鲁颂·闷宫》，“路寝孔硕，松桷有舄(xì)”，《榖梁传·庄二四年》，“刻桓宫桷。”释文:“桷，榱(cui)也。方曰桷，圆曰椽。”也指平直的树枝。
5.“楞”，四方的木块。
6.“矩”，古代画方的工具，亦称之为“曲尺”，就是现代列入依法管理的计量器具“直角尺”。《周髀算经》载，商高曰，“既方之外半其一矩”。我们可以理解为:连接圆内接正方形的对角线，将正方形一分为二，即可以得到两个直角三角形。故“矩”在非圆心角，画圆为360度的体系之外即是直角。“矩形”即是四个角为直角的四边形。按中国古代土地面积的计量方法“百步为亩”，“长十步宽十步”的正方形，称之为“方田”。秦国商鞅变法，破井田开阡陌使秦国“亩”的单位量值为240方步。此时土地面积的计量方法由标准的正方形变成长方形。土地面积的量值由“百步为亩”变成了“长十六宽十五不多不少整一亩”。自黄帝设“里步制”至清顺治确定使用“弓尺”、“绳尺”测量土地面积，中国土地面积计量始终沿用以“矩”确定直角，测量正方形或长方形面积的传统。所以，古代“里步制”的“步”———“平方步”，“里”———“平方里”以及“井田制”之“井”都是正方形。
7.“倨(jù)句(gōu)”，《周礼·冬官考工记·冶氏》，“戈广二寸，内倍之，胡三之，援四之已倨则不入，已句则不决……是故倨句外博……倨句中矩”，此为冶炼制造“戈”和“戟”必须注意的角度的技术要求。倨:《康熙字典》其解:(1)为“倨傲不逊”；(2)为“矩之直者为倨，折而衡者为句”。此处所讲:矩的上下垂直与地平面的一边为倨，使之折而为衡的部分为句。故“倨句”当解释为古代之“矩”器。“倨句外博”“倨句中矩”应该是讲述使用“倨句”测量戈的张角，张角大于倨句角。“倨句中矩”是讲述使用“倨句”测量戟时，戟的张角等于倨句之角和“矩”相符。所以，从计量测量角度分析，“倨句”可以解释为是计量器具“矩”的别称，也可以理解为其量值是直角。“倨”与“句”形成“倨句”一词是表示角的开阖程度。这就是在没有发现、使用用度数区分角度大小的条件下，“有角无度”的认识阶段对“角”这一概念进行表述的专用名词。
8.“磬”，《康熙字典》例举出《周礼·冬官考工记·磬氏为磬》:“磬氏为磬，倨句一矩有半。”之句。其注曰，“先度一矩为句，一矩为股，而求其弦。既而以一矩有半，觸其弦，则磬之倨句也。”按注画图:(1)先用矩的一边作为句，另一边为股，求出弦———即用矩，画出直角三角形；(2)在做出一矩有半直角与弦相交形成的角就是“磬”角。故此注中“倨句”之解为“角”。另外，此注是详述:用矩画出“磬”角的方法。
9.“磬折”，《康熙字典》在解释“磬”字时，提出由“磬”字组成的词“磬折”。“又磬折《礼·曲礼》:立则磬折垂珮。【注】带珮于两边臣则身宜偻折如磬之背故云‘磬折’。”按此解释，“磬折”一词译成现代汉语应当是:《周礼》在规定侍奉君主站立在君王两侧的臣子必须保持鞠躬的姿势，他们佩戴的玉佩垂直于地面，偻身像磬弯曲的程度。所以，此处“磬折”是“身宜偻折如磬之背”的鞠躬的姿势，“磬”为固定的角，“磬折”是像“磬”弯曲的样子。“磬”是古代有定量值的角，“磬折”弯曲的程度与“磬角”近似。
10.“宣”，《康熙字典》中“又《周礼·冬官考工记》车人之事，半矩谓之宣。”“矩”为直角，“半矩”为直角的一半。故“宣”是中国古代“以矩起度”的一个具有定量值的角。
11.“欘”(zhú)，《康熙字典》中“《周礼·冬官考工记》车人之事，半矩谓之宣，一宣有半谓之欘，一欘有半谓之柯，【郑注:仓颉篇有柯欘。管子霸言篇:匠人有以感斤欘，故绳可得而料也俗作欘。】”，按“一宣有半谓之欘，一欘有半谓之柯”，“欘”为中国古代“以矩起度”的一个具有定量值的角。
12.“柯”依11.所引“一欘有半谓之柯”，“柯”为中国古代“以矩起度”中的一个具有定量值的角。
13.“圆”，在中国古代依“天圆地方”之说可以理解“天”即是圆。最早用几何图形给出“圆”的定义的是《墨子·经上》中“圆，一中同长也”，其中“一中”即是现代数学所讲的“圆心”，“同长”即是“圆的半径”，换言之“曲率半径处处相等”。由此，联想到“周而复始”成语的含义，即可以理解中国古代已知晓的“圆周角”，但此时似乎人们对角的认识，仍陷于欲以长度度角的过程之中。
四、“规圆矩方”“以矩起度”“用矩之道”是中国古代对“角”进行计量的方法
女娲伏羲使用“规和矩”量天度地的传说家喻户晓，但中国古代何时发明“规”和“矩”？尚未发现明确的文字记载。不过，其作为“规圆矩方”之器不仅载入了历代正史《律历志》中，还在相关古代科技文献中屡见不鲜。所以，我们沿着“规圆矩方”“以矩起度”“用矩之道”的相关记载，即可发现中国古代“不用度数表示的角”的角度计量痕迹。
1.墨子推崇法制，在《墨子·法仪第四》中讲到，“墨子曰:‘天下从事者不可以无法仪———为将相者皆有法仪，虽至百工从事者，亦皆有法。百工为方以矩，为圆以规，直以绳，正以悬’”。另据《墨子·卷七·天志》中记载，“轮人之有规，匠人之有矩也。今夫轮人操其规将以量度天下之圆与不圆也。曰:‘中吾规者谓之圆；不中吾规者谓之不圆’，是以圆与不圆皆可得而知也。此其故何则圆法明也。匠人亦操其矩将以量度天下之方与不方也。曰:‘中吾矩者谓之方；不中吾矩者谓之不方’，是以方与不方皆可得而知之。此其故何则方法明也。”这两段文字是墨子“规圆矩方”角度计量管理的例子，阐述了国家推行法制管理制度的观点:一是，强调了轮人和匠人分别持掌“规和矩”；二是，轮人和匠人用其持掌的“规和矩”去量度天下的“圆”和“方”，这是点明轮人和匠人进行“规圆矩方测量”的管辖范围；三是，“中规”与“中矩”是轮人和匠人对符合规矩的“圆”与“方”给出的定性区别，以达到“合格”标准的检测结论，反之“不中规”和“不中矩”是对“不合格”的“方”与“圆”给出的判定结果，故“中”与“不中”是古人进行“规圆矩方”计量定性区别判定的技术术语；四是，通过轮人和匠人用规和矩进行测量，使人们得以知晓“圆与方”；五是，“此其故何则圆法明也”“此其故何则方法明也”就是这样明确了“圆”与“方”的测量和管理方法。按现代计量科学的观点分析《墨经》所述的内容，说明我国古代最晚在战国时期“规圆矩方”已经成为百工开展有角无度的角度计量的明确法规。
2.清代学者程瑶田著《考工创物小纪·宣欘柯磬折句度法述》中提出，“百工持矩以起度，而倨句之度法遂生于矩焉。”在我国古代《考工记》一书问世以后，历代学者的注疏很多。其中，影响最甚者是东汉郑玄注《考工记》对“车人之事，半矩谓之宣，一宣有半谓之欘，一欘有半谓之柯，一柯有半谓之磬折”的解释，“矩，法也。所法者人也。人长八尺而大节三:头也，腹、颈也。以三通率之，则矩二尺六寸三分寸之二。头发皓落曰宣，半矩尺三寸三分寸之一，人头之长也。”郑玄之注将“矩宣欘柯磬折”解释为几何量长度。受郑玄的注疏影响近两千年，遂使中国古代“度量衡，有度(长度)无角”的理念陈陈相因。至清代中期，程瑶田打破郑玄注释《考工记》所持偏见的禁锢，明确提出“车人之事，半矩谓之宣，一宣有半谓之欘，一欘有半谓之柯，一柯有半谓之磬折”中的“矩、宣、欘、柯、磬折”是一套实用的“角”———这是没有用度进行表述的“角”。同时程瑶田指出，“百工持矩以起度，而倨句之度法遂生于矩。”这就是说，我国古代在手工业生产领域的“百工”中已形成以“矩”之角为角的起度标准。程瑶田讲出了中国古代“有角无度”“以矩起度”的角度计量的历史信息。
3.在《周髀算经》的首卷开篇讲述了周公向商高请教:天，没有台阶，人没法登天去测量天的高度；地广阔无边，人没法一尺一寸地进行量度，请问是用什么方法得出它们的数据？商高说:使用“矩”，根据“矩”的短尺“句”，长尺“股”，确定“径隅”，得出的“句三股四弦五”的比例关系，进行“量天度地”的测量，即可得知“天高地厚”的数据。周公接着请教:使用“矩”进行“量天度地”的具体方法———“请问用矩之道”。“商高曰:‘平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。’”
我们认为，商高所述“用矩之道”:其中之“矩”乃指“矩尺”，亦称之“曲尺”，当今称之为“直角尺”。其中“用”字应解释为“检定、使用的全部操作。”其中之“道”字应解释为“道理、道义、法规”。所以我们将商高所述“用矩之道”解释为在“百工”中通行的检定、使用“矩”的技术法规。“用矩之道”中“平矩以正绳”，从计量技术角度出发是扼要说明“矩”器之角的量值溯源与检定。“用矩之道”中“偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。”则是“用矩”进行测量的统一操作、计算及“规圆矩方”的作图方法。商高将五个放置“矩”的方式，形成的五种测量方法，运用排比句修辞炼句手法描述了“用矩之道”的内容。
(1)“偃矩以望高”中“偃”是将“矩”仰卧放置，即将“矩”的“股”外侧面置于平面之上，此时“矩”之“句”垂直于平面(见图1、图2)。
正在上传...2.webp.jpg
图1偃矩之图
2.webp(1).jpg
图2偃矩以望高
(2)“覆矩以测深”中“覆”为倒也。即使“矩”之股端垂直于水平面，“矩”之句与水平面平行(见图3、图4)。
3.webp.jpg
图3覆矩之图
4.webp.jpg
图4覆矩以测深
(3)“卧矩以知远”中“卧”，平放也。即将“矩”之句放置在水平面上，使“矩”之股垂直于水平面(见图5、图6)。
5.webp.jpg
图5卧矩之图
6.webp.jpg
图6卧矩以知远
(4)“环矩以为圆”将“矩”之句外侧面放置在平面上，以“矩”之句与股交点为圆心，做圆周运动，句之外端的运动轨迹形成“一中等长”的图形，此图形为圆。“环矩为圆”即使用“矩”作圆的作图方法。