**关于误差的定义**-**误差与不确定度辨析(2)**
史锦顺
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不确定度论说“真值不可知”，从而说误差不可求。其目的，很明白，正是“司马昭之心路人皆知”，就是歪曲、否定人类几百年来积累起来的关于误差的知识，从而用不确定度论取而代之。可惜不确定度论自己不争气。一套自身逻辑混乱的东西，你可能猖獗一时，人们不会容忍你长久忽悠下去。
上节谈不确定度论为否定真值，给真值下了个“真值是与量的定义一致的值”这个不符合逻辑的定义。有人可能说：你不是说GUM给出的“真值就是实际值”是个不赖的定义吗？是的，但GUM是不可能实际应用这后一个说法的。为坚持“真值不可知”的说教，必然用真值的那个玄妙定义来忽悠；如果贯彻这第二个定义，该说“实际值不可知”，那就难以骗人了。
请问不确定度者：你说真值就是实际值，而又多次说“真值不可知”，那不就是说实际值不可知吗？实际值你都认为不可知，你还搞测量计量干甚么？
回到本节关于误差的话题。
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**（一）逻辑学根据**
概念是人认识事物的基础，而定义是明确概念的基本方法。
概念的范畴极广，种类繁多，深入到方方面面。概念无处不在。
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概念的大小范围不同，逻辑学上分属概念和种概念。关于房子的概念，就有一般的概念和特定的概念。一位伟人说过：谁见过房子？人们看到的是天津的洋楼，北京的四合院。
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有些概念间有包含关系。逻辑学上称的属概念与种概念，可理解为总概念与总概念包含的分概念、集合概念与构成它的单元概念。
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**（二）我的观点**
误差的含义是测得值与真值的差距。这是个总概念，逻辑学上是属概念。误差这个大概念下，有误差元、误差范围。
我的观点是：
**误差概念包含有误差元和误差范围。误差元构成误差范围。**
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误差概念是泛指的概念，是指测得值与实际值的差距。这个“差距”的具体表达方式有多种。
测量计量历史上有些习惯叫法，我们要仔细辨别。有时误差是误差元的简称（如标准研制的逐项误差分析，实际是误差元分析），通常误差又指测量仪器的误差范围（如说电子案秤的误差是3克，实际指的是电子案秤的误差范围是3克）。
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本文主张规范这些概念：误差是泛指概念，总概念。误差元是特定概念、单体的概念，它有唯一的数学表达。误差范围是特定概念，它是群体的表征量，有数学表达式。有常用的置信系数（k=3），因而有常用的误差范围取法。
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误差元是误差的特指的概念，是说明误差含义的基础。主要用来做物理意义的说明，并用做起步的计算（单项误差分析），有时也用来表达大的、特定的系统误差（主要是用以确定修正值）。
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误差元定义为：
r=m–Z（1）
式中r是误差元，m是单次测量的测得值。Z是真值。定义方差一开始就用（1）式，仅仅过渡而已，实验标准偏差的表达式中，并不出现真值。
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在误差理论与应用中，最常用的是误差范围的概念。测量仪器或计量标准的设计，指标的确定和标度，检定中的合格性判断，都是指误差范围。
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各系统误差元构成系统误差范围；各随机误差元构成随机误差范围。系统误差范围与随机误差范围合成为总误差范围。简称误差范围。
这里说的“我的观点”，仅指规范一下说法，明确一下概念而已。本来人们都是这样做的。而概念清楚，称呼明确，就易于识破谬说。
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**(三)误差概念辨析**
以下，（1）到（3）是不确定度论对误差给出的定义与说明。
（1）《VIM1993》
3.10error(ofmeasurement)
resultofameasurementminusatruevalueofthemeasurand
测量误差
测量结果减被测量的真值
（2）《VIM2008》
2.16measurementerror
measuredquantityvalueminusareferencequantityvalue
测量误差
测得的量值减参考量值
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（3）误差是数轴上的点，非正即负（不确定度宣贯材料）。
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以下（4A）、（4B）是误差理论的经典著作《误差理论与实验数据处理》（冯师颜，科学出版社，1964）对误差的描述：
（4A）“误差指观测值与真值之差”。
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（4B）误差的表示法（圆括号中的话，是笔者的摘录，不是原文。）
1）范围误差（观测值的最大值减最小值）
2）算术平均误差（偏差绝对值的平均值）
3）标准误差（即用贝塞尔公式算出的西格玛，取其数倍为误差表达量）
4）或然误差（区间包含概率50%）
（过去常用或然误差，现在常用标准误差，——冯书原话。）
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我们分析一下这些定义或表述。
（1）、（2）是当今国际标准文件的标准定义。易于看出，其定义的对象仅仅是误差元。定义（1）本身没错，但“点”包含不了一个区间。误差概念应用的绝大多数场合是指误差范围。把群体特性的误差范围忽略，只讲单个误差元的物理意义，是不够的。而其本质是用单体的概念，去代替群体的概念，这就错了。
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定义（2）把真值换成参考值，我开始觉得直接用标准值代换真值，好用。后来细一想，不行。对计量工作者，还说得过去；对广大测量工作者，则讲不通。测量要求的是测得值对被测量实际值（真值）的差，不是对那些参考值的差。此定义物理意义错位。就是计量（验收、检定），原则上也该按（1）式在量程范围内做全面检查；而不是按（2）式只进行个别的抽样检查。所以我认为定义（2）比定义（1）退步了。
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总括来说，国际标准给出的这两个定义，都是只见树木，不见森林，只讲误差元，而忽视最重要的误差范围，都是不妥当的。
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（3）说“误差是数轴上的点，非正即负”，传布很广，其实是错误的。鉴于其影响面宽，有许多人接受这一点，这里多说几句。
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处理随机误差，推导方差的贝塞尔公式时，出发点必须用（1）式，但贝塞尔先生巧妙地用平均值代换掉真值，实现了理想公式的现实计算，成为科学史上的千古佳话。
贝塞尔公式的本质就是由若干个单个的测得值，算出测得值群体特性（分散性）的表征量西格玛来。这是测量学史上的一大亮点。有人说算西格玛本质就是算不确定度，这是违反历史的话，不确定度论算老几，随机误差范围的概念与求法，比不确定度论早得多，至少早一百六十年。去年，我曾有专文介绍贝塞尔先生。XZKL1234先生还注意到那天恰是贝塞尔的诞辰纪念日。
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在基础测量（经典测量，常量测量）中，既有系统误差，又有随机误差。由于随机误差的存在，测得的单个数据是在一定范围中的随机量。它们是各个不同的。贝塞尔公式诞生二百年来，在有随机误差的精密测量中，有谁算出过可正可负的西格玛呢？世上没有这种笨人。随机误差用贝塞尔公式计算出的西格玛必定是正值，不可能有负值。各测得数据的残差的平方和，也必定是正值。而根号正值，其结果必取正值，这是中学数学严格规定的。随机误差范围既然必定是正值，在将随机误差范围与系统误差范围合成时，是域的合成、范围的合成，每个范围量以及总范围量，都不可能出现负号，而必定是正值。本人不才，阅历不广，但也还是参加过一些计量标准与测量仪器的鉴定会。国家级、省部级，算起来也有十多次，单位内的以及个人设计的标准与测量仪器（测量系统或测量设备）也有几十种，竟没见过，也没听说过有负误差范围。
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低档次的测量仪器，在长期使用的过程中，在一定条件下，可能出现有恒定的系统偏差，这是可以修正的。应及时发现并修正。这可理解为特殊的误差元。有些行业是这样做的。但修正一定要做对，不然就起反作用。有些书说误差的反号就是修正值，这不对，缺少误差范围的概念，极易出错。
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我是搞电子计量的，而又主要搞频率计量。在我们的行业中有个共识：修正不如不修正；我们从来不搞修正。要求高就换准确度高的仪器。
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误差元当然可正可负；而误差范围不可能为负。实用中误差又常常是误差范围的简称，因此笼统地说误差可正可负是不对的。
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（4A）、(4B)的表述，是误差理论的本来面目。老一点的计量工作者应该是熟知的。（4A）指误差元，讲误差的物理意义；（4B）讲误差的群体特性，讲误差范围，说明误差概念在实际工作中的用法。
本文误差元与误差范围的提法与区分，正体现了经典误差理论的本质与传统思路。
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不确定度论出世以来，为占领阵地，首先对误差理论进行攻击。不确定度论者指出过有理有据的、属于误差理论的错误吗？没有的。GUM、VIM，以及NIST1297,说的关于误差理论的坏话，细一分析，都是歪曲。请问提出不确定度论的美国的NIST（前身NBS）的几位先生，你们说误差理论这也不对，那也不对，那么你们美国建国以来的二百多年中，按误差理论搞的基准、标准，有多少是不对的呢？你们卖给世界的大量的标准与测量仪器，你们是不是该召回、该退赔呢？你们否定误差理论，难道不也是在否定你们的八代祖先吗？（美国建国二百四十年，按三十年一代，已八代。）我不否认许多近代美国科学家的贡献，我责问的是美国的那几个不学无术的不确定度论的提出者。训斥你们，正是维护全世界的包括美国的对误差理论有过贡献的科学家的声誉。也安慰一下用误差理论干了一辈子的众多的计量工作者。大家本没错，错的是不确定度论！