**两种西格玛**-**误差与不确定度辨析(9)**
史锦顺
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**（一）单值的西格玛与平均值的西格玛**
西格玛是方差的平方根。物理书上常称其为均方根值。经典测量学称其为标准误差，变量统计理论称其为标准偏差。
测量一组数据，共N个。代入贝塞尔公式计算。计算过程为：先求N个数据的平均值；各数据减平均值得N个残差；每个残差取平方；对各残差的平方求和，得残差的平方和；将残差的平方和除以(N-1),再开方，即得到西格玛。这是单值的西格玛。此西格玛表征每一个单个的测得值。也就是说，西格玛是一组测量中各个单值的共同特征，是单值对期望值偏差的统计表征量，是单值的分散性的度量。在正态分布的条件下，三倍西格玛是包含概率为99.73%的取值区间。
平均值的西格玛，简称西格玛(平)。西格玛(平)等于西格玛除以根号N。西格玛(平)是平均值对期望值偏离的统计表征量。
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**（二）基础测量要用平均值的西格玛**
对常量的测量，称基础测量。
生活、生产、交易中的测量，是认识量值，求得量值，一般只测一次。
对常量进行精密测量，要进行多次。测一次是必要测量，另外的N-1次测量，是重复测量，又称冗（róng）余测量。测得值的变化由测量仪器引起，测得值的分散性是手段问题，要用多次测量的方法减小手段的影响，要取平均值，用西格玛(平)来表征测得值的平均值接近被测量真值的程度。
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对慢变量的测量，实际是基础测量。例如测量晶振的日老化率，必须进行时间间隔为1日的2次测量。这2次测量是必要测量。现在通常的作法是每隔一日测量一次，共7次测量，冗余量为5（7减2）。注意，这里的一次测量的“次”，应是三到五个测得值的平均值。
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在基础测量中，测得值的分散性由测量手段引入，称随机误差。手段要改进，方法之一是增加测量次数，因而取平均值，用平均值的西格玛来表征随机误差。
总之，基础测量用平均值的西格玛。
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**（三）统计测量要用单值的西格玛**
对随机快变量的测量，是统计测量。其模型是，每个测得值是准确值（误差可略），测得值的变化，表现被测量本身的变化。取得单个测得值所用的时间称采样时间。每个测得值是采样时间内的各时刻量值的平均值。单个测得值及其表征量，都是采样时间的函数。这种表达模式，在时频界，已成功应用。
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对迅速变化的量，测量只能进行一次。如发射运载卫星的火箭，测速、测距都无法重复，因为速度在变，距离更在变，此刻的值不等于下一刻的值。这样，对测量系统的要求，是单值的西格玛，而不是平均值的西格玛。
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对统计测量来说，西格玛是量值分散性的表征量，称随机偏差。3倍西格玛是量值的变化范围。平均值的西格玛是平均值的变化特性，对单个客观量的实际变化，已无实际意义。因此统计测量的表征量是单值的西格玛，而不是平均值的西格玛。
统计测量的标准偏差，是单值的西格玛。
**例1狼的活动范围**
一座小山的岩石洞中，有个狼窝，住着狼和几只狼崽。狼每天外出巡猎，又要顾及狼崽，不时回窝照看，这样就大致有个行动范围。狼离小山的距离，简称狼距，在一个区间内。设每天狼的活动规律大体相同。
一天中抽样测量狼距，测10次，算西格玛为20公里，取3西格玛为狼距范围，是60公里。狼距平均值的西格玛是7公里，狼距平均值的范围是20公里。
如一天中抽样测量狼距1000次，算西格玛为20公里，狼距范围是60公里；西格玛(平)为0.7公里，狼距平均值的范围是2公里。
小山周围是大草原，杂居着羊和兔。羊国布告：按狼距3西格玛是危险区，即小山60公里范围，羊等莫入。兔国布告：按狼距3西格玛(平)是危险区，即小山2公里范围（或写成20公里），兔等莫入。
结果很明显。3西格玛是狼可能到达的范围；3西格玛（平）无安全上的意义。羊国以3西格玛（60公里）为危险范围是正确的。兔国采用3西格玛(平)，危险范围仅2公里（或20公里），上当。
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**例2孵鸡的温度范围**
孵鸡的温度要求，大致为38℃，温度范围1℃。即温度高，不得高于39℃；温度低，不得低于37℃。
孵箱的温度，是温度控制的结果，是随机变量。孵箱温度测量是统计测量。
现有温箱A、B、C三个。测量结果如下
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A温箱
10次测量σ=0.3℃σ(平)=0.1℃
100次测量σ=0.3℃σ(平)=0.03℃
B温箱
10次测量σ=1.0℃σ(平)=0.3℃
100次测量σ=1.0℃σ(平)=0.1℃
C温箱
10次测量σ=3.0℃σ(平)=1.0℃
100次测量σ=3.0℃σ(平)=0.3℃
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如上温箱温度测量表明，单值西格玛是温箱温度控制水平的表征，而西格玛(平)与测量次数有关，是测量手段的函数，不是被测对象的客观属性。要用西格玛来判断合格性，而不能用西格玛(平)。
以上温箱，能用来孵鸡的只有A温箱。因为要按单值的西格玛，温度变化范围是0.9℃，满足温度变化小于1℃的要求。
B温箱的温度变化范围是3℃，不符合孵鸡要求。C温箱的温度变化是9℃，绝不能用来孵鸡。
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如果按现行的不确定度论行事，用西格玛(平)，以三倍西格玛(平)当做温度变化范围，则不仅B温箱合格，C温箱也得算合格。C温箱100次测量的西格玛(平)是0.3℃，温度平均值的范围是1℃。
用C温箱孵鸡，鸡胚必将全部死光。问题出在求温度变化范围，应该是单值温度的变化范围，是9℃；而不能用温度平均值的范围。
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**例3频率稳定度的测量**
以上二例，都是假想，但说明的道理是正确的。频率稳定度的测量则是现实可能的情况。
频标的稳定度，一定要用单值的西格玛表达，不准用平均值的西格玛。如果可以用平均值的西格玛来表达，那就乱套了。一台晶振1毫秒采样稳定度σ为3E-9；销售商测100次，σ为3E-9，而σ(平)为3E-10；生产厂测量10000次，σ为3E-9，而σ(平)为3E-11。计量部门有严格的规矩（详见《JJF1180-2007》），不管你测量一百次，还是测量一万次，都要用单值的西格玛。此晶振稳定度的表征量是西格玛，就是3E-9。按现行不确定度论，此晶振的稳定度可表为3E-10,也可表为3E-11，那是不对的。
在时频界，自从1972年采用阿仑方差表征频率稳定度以来，一律用单值的西格玛，这一点，至今全世界是一致的；从而避免了推广不确定度可能引入的混乱。这正是时频界能抵制不确定度论的一个重要原因。
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