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摘要：在变形不大的情况下，各种弹性元件的弹性特性基本符合虎克定律，其载荷与位移之间具有一定的函数关系。利用这种特性，弹性元件能将一些难以直接测量的物理量转换成便于测量的参量。文中介绍了弹性元件的研究进展，重点综述了平膜片、跳跃膜片、波纹膜片及波纹管的非线性弯曲、振动和稳定性研究方法及方法比较。
关键词：平膜片;跳跃膜片;波纹膜片;波纹管;弯曲;振动;稳定
引言
在仪器仪表中，利用材料的弹性特性实现各种功能的元件称为弹性元件。常用的有:弹簧、平膜片、跳跃膜片、热敏双金属膜片、波纹膜片、波纹管等。
弹性元件能够完成测量、变换、隔离、密封、补偿、贮能、连接等各种不同的功能，其质量直接影响到仪器仪表的精度与可靠性。弹性元件的结构简单，价格低廉。因此，弹性元件在仪器仪表中的应用十分广泛，是仪器仪表的主要基础元件之一。
弹性元件能将一些难以直接测量的物理量(如压力、流量、温度等)转换成便于测量的长度、角度等参量。在变形不大的情况下，各种弹性元件的弹性特性基本符合虎克定律，其载荷与位移之间具有一定的函数关系，利用这种特性就可以测量力、压力、压差和力矩等参量。同时，弹性元件还能很方便地将很多物理量(如流量、液位、温度、电流、压力等)转换为力、压力和力矩等参量来进行测量。文中重点综述平膜片、跳跃膜片、热敏双金属跳跃膜片、波纹膜片及波纹管的非线性弯曲、振动和稳定性研究情况。
1平膜片
平膜片是将2种压力不等的流体隔开而具有挠性的圆形薄板或薄膜，通常分为金属和非金属两类，它是一种简单可靠的压力测量元件。
许多时候，由于膜片变形很小，使用薄圆板小挠度理论就可以了。这个理论的解最早是Poisson给出的，详细的解答可参见文献2和文献3。
薄圆板的大挠度理论来源于VonKármán，在此后10年里，人们用各种方法研究薄圆板。
Hencky首先研究了受均布压力的圆形薄板。接着Vincent用载荷摄动法讨论了受均布压力的圆板大挠度问题。Timoshenko用变分法，Way用幕级数方法，Panov用伽辽金法等分别求解了同一个问题。直到钱伟长采用中心挠度为参数的摄动法，才得到了最满意的解答。此后，钱伟长又和叶开玩获得了圆板和环形板一系列问题的解。后来，李东和刘人怀又研究了薄圆板的非线性振动问题，王永亮和刘人怀讨论了弹性支持环形板的非线性弯曲问题。
2跳跃膜片
2.1跳跃膜片的性质及其应用
用高弹性极限材料做成微小倾度的薄壁球形圆顶，在仪器制造中通常称为跳跃膜片。这种零件在某种力的作用下，尤其是沿凸面分布的压力，在一定条件下会失掉稳定性。当薄膜的壁足够薄而又是用高弹性极限材料做成时，在超过临界力以后仍能使膜片保有弹性。类似于这种并不引起零件破坏的稳定性丧失，称为跳跃。
2.2跳跃膜片几何非线性理论发展概述
VonKármún和钱学森(1939)首先指出扁球壳在外压下的屈曲问题是一个非线性问题，这篇论文被誉为20世纪板壳非线性力学的开创性论文。接着，钱伟长使用能量法处理了一个更困难的问题，即在对称线布载荷作用下扁球壳的跳跃问题，获得了解析公式以及与实验吻合的半经验公式，这一成果于1956年才公开发表。
Feodosev使用伽辽金法研究了均布压力下的扁球壳屈曲问题，Simons和Reiss使用幕级数法研究了这一问题。Kaplan和冯元祯以及Krivoshchier和Mushtaη再用摄动法研究了这一问题。但是，上述研究都无法满足工程需求，工程上需要一个计算程序简单而精确度比较高的解法。
1956年，叶开玩和刘人怀结合了钱伟长以中心挠度为摄动参数的摄动法和逐次逼近法的优点，提出了修正迭代法。这个方法迭代程序明确、简单、精确度高。用这个方法分别求解了在线布载荷作用下和边缘力矩作用下的扁球壳非线性稳定问题，给出了更精确的解析解。同时，刘人怀又在国际上首次研究了难度更大的开顶扁球壳的非线性稳定问题。随后，刘人怀系统地求解了开顶扁球壳的非线性稳定问题。叶开玩和顾淑贤再次精确地求解了均布载荷作用下扁球壳的非线性稳定问题。
3热敏现金属跳跃膜片
用双层金属扁壳做成的热敏弹性元件，被用于自动控制仪表中。这类元件具有这样的特性:在均匀加热的情况下，由于两层金属的热膨胀系数不同，将产生弯曲，以至于发生跳跃现象。自动控制仪表便应用这跳跃现象作为控制信号。
Panov首先用伽辽金法讨论了双金属扁球壳的非线性热稳定问题，接着Wittrick、Grigolyuk和罗祖道又用级数法等方法再次讨论了同一问题，结果均不理想。为此，刘人怀建立了双层金属旋转扁球壳在均匀温度作用下的非线性热稳定性的一般理论，使用修正选代法不仅求解了前人己研究过的封顶和开顶双金属扁球壳的热稳定问题，获得了令人满意的解析解，而且首次获得了封顶和截头双金属扁锥壳的热稳定问题的解析解。
4波纹膜片
波纹膜片属于波纹壳体，由于其具有灵敏度高、线性度好等优点，在传感器中占有重要地位。波纹膜片是广泛使用的一种弹性敏感元件，它既用于测量高于大气压的压力计中，也用于测量低于大气压的真空计中。
4.1波纹膜片的构造
波纹膜片表面的世纹是多种多样的，与具体情况下所必须得到的特征(力与挠度之间的关系)的形式有关。最常见的波纹膜片分3种:平面型波纹膜片(图1);带大边缘破纹的披纹膜
片(图2);亮型波纹膜片(图3)。
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波纹膜片参数很多，又相互制约，设计很复杂。波纹膜片的参数主要指两方面:膜片参数;型面参数。膜片参数主要有膜片材料、膜片厚度和膜片工作直径等。型面参数是指膜片波纹形状有关的参数，主要有波纹深度、波纹形状、边缘波纹、型面锥度、波纹倾角、波距等。
波纹膜片型面简图如图4所示。
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对于膜片中心挠度，以数学形式表达如下:
W=f(p，E，ν，h，a，H，α，θ，L，Ro，…)
式中:p为工作压力;E为材料的弹性模量w为泊松系数;h为膜片厚度;a为膜片工作半径;H为波纹深度;α为型面锥度;θ为波纹倾角;L为波距;R。为边缘波纹。
4.2研究现状
波纹膜片以其独特的优点在各领域里广泛使用，尤其是作为低压敏感元件被广泛应用于精密仪器仪表和传感器中，自从Hersey和Griffith各自展开了对波纹圆板的实验和理论研究以来，世界各国的科学家在这方面做了大量的工作。这种弹性元件的理论研究十分困难，造成这种状况的主要原因是波纹膜片本身形状复杂，参数很多，特别是大挠度非线性微分方程组在数学上求解极其困难。以往的理论计算可以分为两种:采用壳体(或者扁壳)的大挠度(或者小挠度)方程来求解;将波纹壳(或者波纹圆板)看成是结构上的正交各向异性壳(或者正交各向异性圆平板)，采用正交各向异性壳(或者正交各向异性圆平板)的大挠度(或者小挠度)方程来进行研究。
4.2.1正交各向异性板壳理论
Haringx首先提出将波纹圆板问题转化成等效的正交各向异性板问题的思想，为波纹圆板的理论分析提供了一种新的手段。文献根据波纹圆板在径向和周向有不同的刚度，以各向异性圆板代替波纹圆板，该板在径向和周向的刚度对应于波纹圈板的刚度，而厚度、半径及材料是相同的，采用各向异性圆板大挠度方程，用Galerkin方法获得了适应各种波纹圆板的特征关系式，Akasaka也建立了各向异性圆板与波纹圆板弹性常数的等价关系，对于小挠度问题，求得了精确解，对于大挠度问题，采用了能量法，求得了近似解。
Akasaka&Takagishi讨论了波纹膜片的线性振动，求出了轴对称振型和反对称振型的固有频率，并且用能量法分析了初始拉应力对固有频率的影响。Rubin采用圆柱正交异性线性板理论探讨了中心带有轴的波纹膜片的优化设计，假定轴经历了小的轴向位移或者小的角位移，那么，最大切向应力的位置将依赖于均匀压力。
由于上述解以及采用壳体理论所获得的解的精度不够，造成设计制造时只能靠理论和经验来设计。为此，刘人怀从1964年开始研究这一问题，并于1968年用修正迭代法获得了十分精确的、可供设计直接应用的解析解。随后，刘人怀等求得了各种波纹圆板(全波纹圆板、具有光滑中心的披纹圆板、具有光滑中心和平面边缘的波纹圆板、具有刚性中心的波纹圆板)在各种载荷(均匀载荷、集中载荷、复合载荷)下的特征关系式，所得结果与实验值十分符合，对波纹圆板的设计具有指导作用。最近，刘人怀采用厚板理论分析了膜盒基体，给出了解析解。
卢耘耘等以正交异性板理论为基础，提出了一种波纹圆板非线性弯曲的Chebyshev级数解法，推导出具有光滑中心的波纹圆板在任意轴对称荷载作用下的弹性特征方程。王新志用最小作用量原理推导出波纹圆板的变分方程，选取波纹圆板中心最大振幅为摄动参数，采用摄动变分法，一次近似求得了波纹圆板线性振动时的固有频率，继而求得了波纹板的非线性固有频率，但只以圆平板作为例子给出了数值解。刘人怀和李东使用Galerkin方法得到了波纹圆板的特征关系及非线性自由振动的固有频率。李东和刘人怀[町使用修正迭代法成功地解决了全波纹圆板的非线性自由振动问题，得到了幅频关系式。皿an:a皿urn:H将正交各向异性板的思想推广到波纹壳中，探讨了将被纹壳等效为正交异性壳体问题，求出了等价的弹性常数。刘人怀和王珞从正交异性壳理论出发，研究了波纹扁球壳的非线性稳定、非线性动态屈曲和非线性强迫振动问题。
4.2.2壳体理论
众多学者直接从亮体理论出发，讨论披纹板壳的特性。I1aHOB第一个讨论了正弦波纹膜片的大挠度问题。φeo.o;OCbeB使用扁壳理论，采用Galerkin方法讨论了浅正弦波纹圆板的大挠度问题。Grover和Bell对图4所示波纹膜片进行了实验和理论分析，假定膜片是由圆板、圆环壳和锥壳组成，因板部分使用Way的非线性解，圆环壳部分使用Stange的线性解，锥壳部分采用Timoshenko导出的线性解。Wildhack和Dressler等讨论了Grover-Bell膜片，采用龙塔-库塔方法，直接积分求解了线性壳体问题，这种计算适用于任意形状的膜片，但是，由于计算困难而没有考虑到非线性因素。Dressler对于另外2种厚度的Grover-Bell膜片，分析了膜片的应力和位移，定量地表明了厚度对膜片中弯曲和拉伸的影响。AKcelIbpa.o;推导了旋转壳的非线性微分方程，借助于Galerkin方法，分析了深正弦波纹膜片的线性和非线性弯曲，但没有将特征关系式的曲线用图表示出来。Hamada和Seguechi使用Reissner方程，采用有限差分法，研究了圆板和扁锥壳的非线性弯曲。Hamada等将这一方法应用到波纹膜片上，求解了Grover-Bell膜片及NBS膜片的特征曲线，获得了膜片各点的应力值。Bihari和Elbert考虑了带边缘波纹膜片的弯曲，将问题化为6个一阶非线性常微分方程，直接从微分方程求解得到了波纹膜片的挠度和径向位移，从数值分析观点考察，解决的是一个多点问题。陈山林用修正迭代法求解了波纹圆板壳体的大挠度方程，得到了具有光滑中心的浅正弦被纹圃板在均匀载荷下的弹性特征，为了得到一个较好的初始近似，引入了初始近似修正系数。Andryewa[蚓应用差分方法研究了具有型面锥度的波纹膜片的非线性弯曲问题。周哲伟和王蜀讨论了圆弧形波纹膜片的特征曲线，在圆弧部分应用钱伟长教授关于圆环壳的一般线性解，并采用中心圆板部分的最大相对挠度为摄动系数，用摄动法和矩阵联乘法联合求解，获得了较为满意的结果。宋卫平和叶开沅采用旋转扁壳大挠度理论研究波纹圆板在中心力作用下的变形、应力和稳定性，利用牛顿-样条函数法求解了浅正弦波纹圆板的非线性壳体方程，获得了屈曲前和屈曲后的解。
刘人怀和袁鸿采用格林函数方法，将简化的Reissner方程化为积分方程，成功地求解了带边缘大波纹膜片的非线性弯曲问题。随后，袁鸿和刘人怀等又继续用此方法研究了带大波纹膜片、被纹壳、波纹膜片的非线性弯曲和振动问题，并与其他理论和实验结果进行比较。最近，袁鸿等采用摄动法和客级数方法，得到了具有光滑中心的浅正弦披纹困板以及具有光滑中心的锯齿形和梯形披纹壳具有中心挠度二次项的弹性特征。Wang等研究了温度变化下正弦波纹膜片
的非线性自由振动。
另外，Chemopiskii、fY3b研究了厚壁波纹壳体，以波纹幅度作为小参数，使用摄动法对三维弹性体进行求解。Liew等采用无网格伽辽金方法和正交异性板理论，研究了矩形波纹板的非线性问题。Gulgazaryan等研究了波纹圆柱壳的非线性问题。有关披纹膜片的设计计算可以参考
BOlIbM，I1oHoMapeB和AH.o;peeBa、Andηewa、刘广玉和庄肇康、翁善臣和刘人怀的著作。
4.2.3理论比较
用正交各向异性壳(板)处理波纹壳(圆板)问题有效简单，能同时讨论各种形状的波纹壳(圆板)，便于工程应用。然而，简化本身也带来一些不足:对于波纹圆板，它得到的特征缺少中心挠度的偶次项，因而不能反映载荷反向时波纹壳(圆板)不同的刚度特征，而当波纹数较少及挠度较大时，这种差别可以是显著的;它的解答不能用于研究波纹壳(圆板)的应力分布和局部失稳现象;它只能解决分段均匀的波纹壳(圆板)问题，即每个波的波纹深度、波纹形状必须一致，而不能解决带有边缘波纹、波纹深浅不同的波纹壳问题。使用薄壳非线性理论进行分析能解决以上问题，但由于壳体大挠度方程本身的非线性和复杂性，增加了求解难度。钱伟长教授等对采用环壳理论与正交异形板理论计算三圆弧被纹膜片进行了比较。
5波纹管
5.1波纹管的构造
波纹管是一种环形波纹的圆柱型薄壁弹性壳体，具有刚度低、疲劳性能好、补偿能力强等特点(见图5)。
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图5中，R为被纹圆弧半径;D为外径;d为内径;t为波距;h[为壁厚;b为波纹厚度;8为披间距。
几种常见波纹管中，U型波纹管应用最广泛，另外还有C型、Q型、S型、锯齿型、正弦波型和矩形等(见图6）。每种波纹管都有其力学特点。
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一般来说，波纹管的各几何参数是根据设计要求和工艺条件确定的，影响波纹管性能的参数主要来源于以下几个方面[剧:内径和外径的比值;波距和外径的比值;波纹厚度、波间宽与外径的比值;1个波纹的允许位移与外径的比值。波纹管在仪器仪表中应用广泛，主要用途是压力测量仪表的测量元件，将压力转换成位移或力。此类波纹管管壁较薄，灵敏度较高，测量范围为数十Pa至数十MPa.另外，波纹管也可以用作密封隔离元件，将2种介质分开或防止有害流体进入设备的测量部分;它还可以用作补偿元件，利用其体积的可变性补偿仪器的温度误差;也用作为2个零件的弹性联接接头等。波纹管在各种技术领域里使用广泛，尤其是作为弹性敏感元件和各类管道的联结元件被用于矿山、石油、化工、冶金、电力、热力、航海、航天等工程设备中。
5.2研究现状
目前，大多数学者都利用轴对称单元来分析波纹管的稳定性，用解析法、数值分析、工程计算和实验应力等方法来探索波纹管的应力分布[叫。解析法是单层波纹管计算的基本方法，也是波纹管应力分析的力学基础。解析法主要包括能量法和渐进积分法。能量法是采用傅里叶级数表示各变量(即子午线弯曲变形)，求出势能或余能的极小值来截取级数项，并求出余项级数;渐进积分法用渐进积分求解一般旋转壳的二阶微分方程。工程近似法是研究单层波纹管的另一种重要方法，它多采用直梁或曲梁模型对披纹管进行简化处理，应用材料力学的方法给出一些简单的设计公式和图表，以供工程使用。有限元法、有限差分法、边界元法和加权余量法等数值法也广泛运用到波纹管的力学研究中。对于多层波纹管，一般采用轴对称的简化模型，以减少计算难度;而实际波纹管各个方向的受力大多是非对称的，采取轴对称模型简化可带来几何形状的离散误差。
5.2.1U型波纹管力学分析
U型波纹管是一种典型的弹性元件，在仪表工业中有着广泛的应用，其力学性能的研究已有60多年的历史。最早的分析是将其视为梁进行研究。接着，把U型波纹管简化为组合元件，即由圆环管和圆形板组合，Tumer、Hamada和Takezono、Anderson和Clark等研究了线性变形，其结果与实验值相差甚大。
钱伟长给出了周对称圆环壳的一般解，为用解析方法分析圆环壳进行了开创性的工作。此后，许多中国学者应用这一结果对U型波纹壳进行了研究。
钱伟长和吴明德将U型波纹管的半个波分成内环壳、外环壳和环板3个部分，对环壳用已得的线性解，对环形板用摄动法求大挠度解，由此得到U型波纹管解，较已有长度解有很大改善，但与实验值相差仍较大。接着，徐志翘等在此基础上，分析了变厚度对刚度的影响。
刘人怀将波纹管的半个波分成等厚度内环壳、外环壳和变厚度的截头扁锥壳，真实地反映U型波纹管的截面形式，并采用摄动法，进行了整体非线性分析计算，获得了与实验吻合的结果。接着，刘人怀和王志伟再按壳体的几何非线性理论，应用积分方程迭代法和梯度法对U型波纹管进行了新的研究，获得了与实验值完全吻合的理论结果，此结果可直接供波纹管的设计使用。
此外，朱卫平和于长波等用有限元法分别研究波纹管的屈曲和疲劳问题。
5.2.2Ω型波纹管力学分析
Ω型波纹管也称作Ω形膨胀节，是由圆环截面的波纹壳与附在开口波谷处直边段上的加强环所组成。由几何学可知，由圆截面所产生的回转表面称为圆环或一般称为Ω形。Ω形波纹管比U形波纹管承受内压能力高，其安全性和经济性显著。Ω形膨胀节波纹壳本身为圆环形壳体，在内压作用下会产生环向与径向薄膜力，沿截面均匀分布。
黎廷新指出，Ω形膨胀节比常用U形膨胀节承受内压能力高，在较高内压场合使用，其安全性和经济性显著。1993年，Ω型膨胀节首次列入了美国膨胀节制造商协会(EJMA)标准中。然而，对于Ω型膨胀节由内压载荷和位移载荷产生的应力，人们的研究和EJMA标准的计算仅限于理想圆环的Ω型膨胀节。现实中，多波纹整体无模液压成型的Ω形膨胀节的波纹圆环截面，制造后通常成为近似椭圆形，有一定的椭圆度，椭圆度影响着载荷应力的大小和分布，特别是较大地影响内压应力的大小和分布，从而影响着膨胀节的强度与疲劳寿命。有关圆环椭圆度对应力的影响，可以得出2个结论:由于多波整体无模液压制成的Ω型膨胀节圆环的截面形状与椭圆形状较为近似，因此以椭圆方程表示的圆环形状来计算Ω型膨胀节圆环的应力，其结果与实际Ω型膨胀节的实测应力结果较符合;Ω型膨胀节圆环椭圆度的大小，影响着Ω型膨胀节内压应力的大小和位移应力的大小，特别是对内压应力大小影响较大。为保障Ω型膨胀节的强度和疲劳寿命，制造中应大力降低。型膨胀节圆环椭圆度，如控制在15%范围以内或更小。
Clark应用渐进积分法，得到轴对称载荷作用下环形壳体的弯曲微分方程的解，分析了Ω型波纹管承受轴向载荷和侧向压力时的应力。吴培援等采用了黄黔的摄动初参数法，分析了Ω型波纹管圆环开口量对各向应力最大值和单波轴向刚度值的影响。易南伟等论述了椭圆截面Ω形膨胀节内压应力和位移应力的弹塑性有限元计算，并对其进行了试验验证和分析。苏旭[1510通过试验测定Ω形波纹管的轴向载荷与位移量的关系曲线，得出波纹管的实测初始刚度值，验证Ω形波纹管理论计算刚度与实测刚度的一致性。
5.2.35型波纹管力学分析
S型波纹管子午线由圆弧段周期连结而成，连结点中面线是光滑相连的。陈山林等用初参数积分方程法求解了S型波纹管问题，计算并研究了S型波纹管的轴对称应力和位移，载荷考虑内压和轴力。陈民将圆环壳弯曲问题一般解应用于处理S型波纹管纯弯曲应力和位移的计算，得到较精确的应力和位移结果，为求解S型波纹管一般弯曲间题奠定了基础。计算分析表明:5型波纹管最大径向应力总是发生在波谷附近区域，且环壳截面半径及初相角对位移的影响很大。S型波纹管最佳柔韧性状态与最不利应力状态相对应，但只要取适当的初相角，便可获得最佳柔韧性。陈山林通过假定变形的对称性，给出了S型波纹管问题的一种初参数积分方程数值解法，这对大多数实际的波纹管问题是适用的。
5.2.4C型波纹管力学分析
陈民引用圆环壳弯曲方程一般解，对C型披纹管在端部弯矩作用下变形进行了系统分析计算，提出了实际工程中刚度设计公式，并对精确分析与简化分析弯曲刚度的差异进行了研究，得出了简化分析刚度设计公式的修正式，从而可方便地将弯曲刚度设计转化为轴对称刚度设计。朱卫平讨论了C型波纹管在子午面内整体弯曲的应力分布和端面角位移，从柔性圆环壳在子午面内整体弯曲的复变量方程出发，化边值问题为初值问题，用S.Gill法得到了该波纹管的数值解，并指出了解答的适用范围。王永岗基于B.B.诺沃日洛夫薄壳理论，用有限元法研究了C型披纹管非轴对称自由振动的广义特征值问题，通过选取两结点非协调曲边旋转壳单元作为离散单元，解决了C型波纹管因子午线曲率有突变而在求解上造成的困难，将所有相关变量沿其环向进行了Fourier展开，得出了任意子午线形状的波纹管在任意环向谐波时的特征值，并对2种端部条件下的C型波纹管进行了特征值分析。朱卫平等计算了C型波纹管的角向刚度、横向刚度和相应的应力分布，将波纹管的凸面和凹面分开处理，分别应用中细柔性圄环壳整体弯曲的一般解，使连接点满足内力和变形连续性条件，并将所得结果与相应的数值积分解、其他理论解及实验进行了比较。结果表明，中细柔性圆环壳的方程和一般解准确可信。
5.2.5矩形波纹管力学分析
矩形波纹管由圆柱壳和圆环板组成。曹红芍等用EJMA公式对矩形波纹管进行了应力计算，并用有限元法和试验法进行了应力分析研究，指出矩形波纹管最大应力位于接角焊缝处。
6结束语
精密仪器仪表弹性元件理论的研究已取得长足进展，但仍需要继续努力，解决工程设计制造中的一些难题。
参考文献:(略)