**误差的误差的计算-****评UA评定(15)**
史锦顺
-
本段讲误差理论的一项新发展——误差方程。
不确定度论攻击误差理论是定性的（说误差理论是理想的，意思是不能定量计算），那是诬陷。本段讲误差理论意义下的用以定量计算的误差方程，以驳斥不确定度论的谬说。
-
误差方程，是说明量值传递与量值溯源的关系式。《新概念测量计量学》提出了误差方程的概念。摘要介绍如下。
-
测量讲究准确，准确是测量的精髓。计量以标准的准确，保证测量仪器的准确，准确是计量的命脉。
量是物质、物体、现象的可定量区分并可定量确定的属性。物理量的量值是客观存在。真值是量的客观值、实际值、准确值。
准确性用误差来衡量。误差是测得值与真值的差距。误差一词有双重含义：误差元与误差范围。误差元定义为测得值减真值，是可正可负的量。误差范围是误差元绝对值的最大可能值，又称最大允许误差。由于随机误差的存在以及系统误差的某些随机性，误差范围是个统计量。误差范围是非负的值。在人们的习惯用语中，误差范围又简称为误差。误差元的概念，只在误差理论一开始时用；而在误差理论主要表达中，特别是在实际应用中，所称的误差，都是指误差范围。
误差范围的概念，实际应用中又区分为几种。
A误差范围。以真值为参考标准的误差元绝对值的最大可能值，有人称其为真误差范围，本文简称为误差范围，测量仪器的误差范围记为R，N级计量标准的误差范围记为R(N)。
测量仪器与计量标准的误差范围，又称最大允许误差，是测量仪器与计量标准的标志性指标，是由技术规范标明的。测量仪器的误差范围，由仪器说明书规定，由计量部门的检定证书确认。测量仪器的使用者，要知道说明书的规定，要验明检定证书或检定标志。
B误差范围目标值。以上级计量标准为参考标准的误差范围称误差范围的实验值。误差范围的实验值的标称值，称误差范围的目标值，记为R(T)。按误差方程算得。
C误差范围实测值。以上级计量标准为参考标准，实测得到的误差范围（误差元的最大可能值），称误差范围的实测值,记为R(M)。
例如，我国砝码检定规程（与国际标准等同），对2kg的M2等砝码，规定误差范围是300mg,规程又规定其误差范围目标值是200mg[R(T,M2)。实际测量时以M1等砝码为参考标准，要求实测的误差范围[多次测量的误差元的最大可能值,R(M)]即误差范围实测值,必须小于或等于误差范围的目标值（200mg，请注意，不是砝码指标标定的300mg）,才能判为合格。本文揭示上述A、B、C三种误差范围的理论关系。
**1误差方程的基本形式**
**1.1测量仪器**
M表示测得值，Z表示被测量的真值。Z(N).表示N级标准的真值，M(N)为N级标准仪器的测得值。B为标准的标称值。r表示误差元，R表误差范围。
r=M-Z
R=｜M-Z｜(最大值)（1）
先把绝对值式(1)解开，变成两个式子，再取其中的大者。
检验测量仪器的误差，要用该测量仪器去测量N级计量标准。测得值是M；N级标准的真值是Z(N)。
当M>Z(N)时，绝对值式（1）的解是
R=M(最大)–Z(N)
R=M(最大)–B(N)+B(N)–Z(N)
R=R(实验A)+R(N)
当M R=Z(N)–M(最小)
对此式右边加减标准的标称值
R=B(N)-M(最小)+Z(N)–B(N)
R=R(实验B)+R(N)
得到的R(实验A)与R(实验B)二者中的大者作为R(实验)，则有
R=R(实验)＋R(N)（2）
-
**1.2计量标准**
Z(N).表示N级标准的真值，B(N)为N级标准的标称值。要确定N级标准器的误差，要用上一级标准即N-1级标准器构成一台N-1级标准测量仪器。N-1级标准测量仪器由N-1级标准器加比较仪器构成。要求比较仪器引入误差可略，于是N-1级标准测量仪器与N-1级标准器误差相同。用N-1级标准测量仪器测量N级标准器，得M(N-1)。
r(N)=B(N)–Z(N)
R(N)=｜B(N)–Z(N)｜(最大值)（3）
先把绝对值式(3)解开，变成两个式子，再取其中的大者。
当B(N)>Z(N)时
R(N)=B(N)–Z(N)
R(N)=B(N)–M(N-1)+M(N-1)-Z(N)
R(N)=R(N,实验A)+R(N-1)
当B(N) R(N)=Z(N)–B(N)
R(N)=M(N-1)-B(N)+Z(N)–M(N-1)
R(N)=R(N,实验B)+R(N-1)
取R(N,实验A),R(N,实验B)之大者为R(N,实验)，则有
R(N)=R(N,实验)+R(N-1)(4)
(2)、(4)式是误差方程的基本形式。
-
**2量传误差方程**
量值传递是计量的基本工作方式。将基准的量值，在保证特定误差范围的条件下，逐级传递给计量标准，直至测量仪器。测量仪器分级，表现不同的技术水平，如电表的分级。计量标准的等级概念，等一般表示地位从属关系，上一等标准是下一等标准的计量参考标准。级则仅表明准确性水平的高低。
计量标准以误差范围R(N)（以真值为参考标准）来表征。
-
标准序号0（基准）1等2等3等……N-1等N等
误差范围R(0)R(1)R(2)R(3)R(N-1)R(N)
误差范围R(0)KR(0)K^2R(0)K^3R(0)K^(N-1)R(0)K^(N)R(0)
R(0)是基准的误差范围，不是靠上一等标准来测量，而有专门的测量与评定方法。
R(i)表第i等标准的以真值为参考标准的误差范围。又简称真误差。
K是量值传递因子，误差范围之比，下一等比上一等。K=1/q。
R(实验测)是以上一等标准的标称值为参考标准的误差范围的实测值。记为R(M).
R(实验标)是以上一等标准的标称值为参考标准的误差范围的标称值。又称实验要求值，或目标值，由计算得出。记为R(T)。R(T)是R(M)的允许的最大可能值。
下面求由误差范围计算误差范围目标值R(T)的公式。
当q不是等值时，q(1/2)表示误差范围1级比2级。由（4）式，误差范围实验值的标称值（目标值）第i等，(i为1到N)
R(T,i)=R(i,实验标)=R(i)-R(i-1)
用q表示i-1等误差范围与i等误差范围之比，则有
R(T,i)=R(i)（1-R(i-1)/R(i)）
R(T,i)R(i){1-q}(5)
当各等之间的q值相同或大体相同时，
R(T,i)=R(i)(6)
(5)式、（6)式为量传误差方程。
-
**命题：检定的判别标准**
误差范围的以上一等的标准为参考标准的实测值记为R(M,i)。
当
R(M,i)≤R(T,i)(7)
时，判为合格；否则不合格。
-
**3溯源误差方程**
**3.1测量仪器溯源误差方程**
M表示测得值，Z表示真值。Z(N).表示N级标准的真值，M(N)为N级标准仪器的测得值。B(N)为N级标准的标称值。r表示误差元，R表误差范围。
-
（1）检验测量仪器误差，要用N级标准测量仪器或N级标准器。
A用被检测量仪器和N级标准测量仪器同测一量（其真值为Z），被检测量仪器测得值为M，N级标准测量仪器测得值为M(N)。
M–Z=M–M(N)+M(N)–Z
R=R(实验)+R(N)（2）
-
B用被检测量仪器测量N级标准器，其标称值B(N)、真值Z(N)
M–Z(N)=M–B(N)+B(N)–Z(N)
R=R(实验)+R(N)（2）
-
（2）检验N级标准测量仪器的误差或检验N级标准器的误差，要用N-1级标准测量仪器或N-1级标准器。
A测同一量，N级标准测量仪器测得值为M(N)，N-1级测量仪器测得值为M(N-1)
M(N)–Z=M(N)–M(N-1)+M(N-1)–Z
R=R(N实验)+R(N-1)（4）
B用N级标准测量仪器测量N-1级标准器，其标称值B(N-1)、真值Z(N-1)
M(N)–Z(N-1)=M(N)–B(N-1)+B(N-1)–Z(N-1)
R(N)=R(N实验)+R(N-1)（4）
C测量N级标准器的误差，要用N-1级标准测量仪器来测它
B(N)–Z(N)=B(N)–M(N-1)+M(N-1)–Z(N)
R(N)=R(N实验)+R(N-1)（4）
-
（3）同理可知
R(N-1)=R(N-1实验)+R(N-2)
R(N-2)=R(N-2实验)+R(N-3)
……
R(2)=R(2实验)+R(1);
R(1)=R(1实验)+R(0)
R0是基准误差，由基准给出。
以上各式逐一写出，并用后式代替前式的最后一项，有
R=R(实验)+R(N)
R=R(实验)+R(N实验)+R(N-1)
R=R(实验)+R(N实验)+R(N-1实验)+R(N-2)
R=R(实验)+R(N实验)+R(N-1实验)+R(N-2实验)+R(N-3)
以下再代换掉R(N-3)……，最后成为
R=R(实验)+R(N实验)+R(N-1实验)+R(N-2实验)+……
+R(2实验)+R(1实验)+R(0,实验)
量值传递关系决定的级间误差范围之比值（上一级比下一级）为系数q，将以上各级误差实验值表为R(N实验)的倍数（^表乘方，*表相乘）
R=R(实验)+R(N实验)+qR(N实验)+q^2*R(N实验)+……
+q^(N-2)*R(N实验)+q^(N-1)*R(N实验)+q^N*R(N实验)
第2项以后把公因子R(N实验)提出，成为首项为1，比值为q的N+1项的等比级数，
R=R(实验)+R(N实验)（8）
等比级数求和，略去q的高阶项q^(N+1)。
结果为
R=R(实验)+R(N实验)/(1-q)(9)
-
**3.2计量标准溯源误差方程**
对N等计量标准(包括已纳入计量系列的测量仪器)，(8)式改写为：
R(N)=R(N实验)
解得
R(N)=R(N实验)/(1-q)(10)
-
**4经典计量学的作法**
计量讲究溯源性。误差方程是关于溯源性的计算。
计量单位的值，古代各国家、各地区不同。近代世界大发展、大交流，于是有了国际单位制。国际单位制，采用十进制，单位体系简约、科学，现代为世界各国普遍采用。我国采用国际单位制。
计量单位的定义由国际计量大会决定。
复现单位量值的设施称基准。我国的国家基准在中国计量科学研究院。基准校准一等标准，一等标准校准二等标准，依次类推，由N等标准校准或检定测量仪器，这就是计量的量值传递系统，由上而下的量值流程称量值传递；而测量仪器每年要向上级计量部门送检，用N等计量标准确定仪器是否合格（是否符合误差范围指标），N等计量标准每年要用N-1等计量标准检定，依此类推直至基准。这个由下到上的寻求量值准确性的过程称为计量的溯源性。同一种量的测量仪器全国千千万，但量值的准确性归根结底都来自基准。
测量仪器的误差范围由N级标准来判断，N级计量标准又由上级计量标准来确定，这是可行的，也是正确的方法。但由此产生的误差（即误差的误差）是多少，这个问题可由误差方程处理。
**5误差方程计算**
**1公式因子计算**
-
q1/31/41/51/61/81/10
1/(1-q)1.501.331.251.201.141.11
-
**2误差范围实验值该扩大的百分比**(K=1/q，是下一级对上一级误差范围之比)
-
q1/31/41/51/61/81/10
K3456810
扩大百分比50%33%25%20%14%11%
-
**3误差范围实验值代替误差范围产生的相对偏差**
/R=R(实验)/R–1=-q
-
**6误差方程的意义**
推导中每步都用真值，但结果中不包含真值，实现了用标准值对真值的代换
误差方程完成的是上级标准值的功效到真值功效的过渡。
误差方程实现了从误差实验值到误差（即真误差）的计算。
指出：目前我国某些计量领域中，q取1/3，偏大；应取1/4。
有了误差方程，可以解除对误差理论的疑虑了。误差方程将在计量、定标各种场合广泛发挥作用。
误差方程出世了，误差范围（真误差的范围）可以计算了；所谓“真值未知，误差不可求”的佯谬破解了。
-