三角函数是“数”还是“量”

  昨日之星 ·  2012-11-04 02:33  ·  19751 次点击
一、纯数学函数与应用科学的函数
纯数学的函数是抽象的,但也是客观存在着的,函数中无论自变量还是变量都是没有计量单位的“数”,这就是纯理论数学的函数。应用科学中的函数描述的是特指某个应用领域的特定被测量和与被测量有关的若干个待测量之间的关系,被测量和待测量都是带有计量单位的。这就是理论数学和应用科学之间的差异。
应用科学的函数可以用理论数学的规律来推理和求解,但是不能摆脱计量单位。理论数学可以指导应用科学的推理和求解,但是理论数学之所以冠以“理论”,就是把应用科学加以了提炼,并抽象化、理想化。理论数学讲直线无粗细,应用科学领域则不存在无粗细的直线。但应用科学要解决直线度检测问题时,却离不开理想直线。
二、包含两个自变量的积或商关系的函数解读
函数S=ab中,自变量a、b都没有计量单位时是纯理论数学的函数,表示两个“数”的积。在应用科学中自变量a、b分别代表矩形的长与宽,S就是面积。a、b分别代表时间与速度,S就是距离。a、b分别代表电流和电阻,S就是电压。应用科学中不存在没有计量单位的自变量,也不存在没有计量单位的变量。
自变量的计量单位不同决定了变量(函数值)的计量单位是什么。不管它们的计量单位是什么,函数S=ab的纯数学运算规律都是适用的、有效的,不能够说纯数学函数的运算规律和理论不适用于应用科学。所以若A=B=C成立,则A=B,A=C,B=C成立。同样1rad=1m/m=1成立,则1rad=1m/m,1rad=1,1m/m=1也成立。
函数S=a/c,如果自变量a、b都没有计量单位,只是“数”,它也是纯数学的函数,表示两个数的商。在应用科学领域,a、c如果分别表示距离和时间,S就是速度;a、c如果分别表示一个角的对边和斜边,S就是这个角的正弦值;a、c如果分别表示一个斜块角度的对边和邻边,S就是斜块的斜度。同样应用科学中的自变量a和c都带有计量单位,变量S也不可能没有计量单位。纯理论数学的函数S=a/c的运算规律同样也适用于上述所有应用科学的函数运算规律。
三、为什么1m/m=1,1kg/kg=1,而1m/m≠1kg/kg
我们再回到应用科学的函数S=a/c,自变量如果a是弧长,c是半径,S就是角度。因为弧长和半径的计量单位都是m,角度的计量单位就必然是m/m。国际计量大会给了1m/m一个专门名称叫弧度,专用符号是rad。在国际计量大会命名的前提条件下,所以才能得到1rad=1m/m。没有国际计量大会命名的前提条件,角度的计量单位就只有m/m,而不会有rad。所以m/m才是角度计量单位的“真实姓名”,是“本”。rad是角度在一定条件下的计量单位“名字”,度分秒、百分度、密位等也都是角度在一定条件下的计量单位“名字”。
如果自变量a是白酒中乙醇含量,c是白酒总重,函数S=a/c的变量S就是白酒中乙醇含量了。自变量a和c的计量单位都是kg,白酒乙醇含量S的计量单位必然是1kg/kg。和几何量计量中的mm/m、μm/m一样,微量元素含量常常用到它的十进分数单位mg/kg或者μg/kg。但角度和白酒乙醇含量并不是“同类量”,尽管最终的计量单位都量纲为1,都等于1,kg毕竟不是m,1m/m和1kg/kg永远也不能画等号。
四、三角函数值永远都是有计量单位的值
三角函数一定是针对某个角度,以角的正弦函数值为例,必然是角的对边除以斜边。两条边长一定会带有计量单位m,绝对不是“纯数字”,纯数字除以纯数字不是三角函数。两个边长的计量单位组合一定会导出一个新的计量单位m/m,这就是正弦函数值的计量单位。所以三角函数永远带有计量单位。之所以人们把三角函数当成纯数学,我前面已经几次谈到了,不再多说。总之,三角函数计算中一定要注意两条边的计量单位的统一,要么同时使用计量单位m,要么使用m的同一个十进倍数(分数)单位。不考虑计量单位或者计量单位不统一的两条边边长的商很可能会造成三角函数计算的巨大错误。

4 条回复

reichina  2012-11-11 14:27
有理,不在,有没有关于净水器的内容谢谢
redplum  2012-11-11 00:34
说得很好:curse::dizzy:
昨日之星  2012-11-05 01:29
七、为什么平时人们把三角函数值当成纯数字,并不说三角函数值的计量单位
JJF1001-2011的3.8条给计量单位的定义是“根据约定定义和采用的标量,任何其它同种量可与其比较使两个量之比用一个数表示。”术语注2还特别指出,即使这些量不是同类量,同量纲的计量单位也可具有相同的名称和符号。
在几何量计量中,角度、锥度、斜度、三角函数……等量虽然不是同类量,它们却使用了同一个计量单位,具有相同的计量单位名称和符号,都是m/m。但是m/m及其十进分数单位mm/m是无量纲计量单位,其量纲表达式中与基本量对应的因子指数均为零,分子分母中的m约掉以后给人们的感觉就是没有计量单位,这是其一。
其二,三角函数值一般用于数据处理过程中,不是产品或过程质量好坏的判定参数,不需要最终比大小,再加上量纲为1,也就没必要计较其计量单位了,所以常常认为三角函数是纯数学函数,三角函数值是纯数字。但是,我们必须清醒地认识到,把三角函数看作为纯数学函数,却改变不了它仍然是“量”的本质。
我们用平面角和三角函数来对比,平面角的计量单位也是m/m,国际计量大会为什么还要给它起个专门名称rad呢?因为角度常常用于产品质量评定好坏的一个参数。凡是要比较大小程度的参数,人们都习惯给个什么“度”的名称来称呼它。所以角度的计量单位虽然也是无量纲计量单位,却不能被省略,必须保留。
昨日之星  2012-11-05 01:07
补充说明:
五、什么是“量”
JJF1001-2011的第一个术语定义就是“量”:现象、物体或物质的特性,其大小可用一个数和一个参照对象表示。
看一下三角函数,以正弦函数为例,它是一个角的对边比斜边的比值,这个比值的大小和角度的大小存在着固定的有一定规律的关系,这就是一种自然“现象”,这个“现象”存在着自己的“特性”,这个特性的好坏可以用一个“量值”来表示,即其“大小可用一个数和一个参照对象表示”,因此可以得出结论正弦函数是一个“量”,是一个“可测的量”。
六、三角函数这个量的计量单位是什么
在楼上帖子的第二条讲到,函数S=a/c,若自变量a、c分别表示一个角的对边和斜边,S就是这个角的正弦值。边长a和c的计量单位都是m,我们也就非常容易地可以导出正弦函数值的计量单位是m/m。

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