一、纯数学函数与应用科学的函数
纯数学的函数是抽象的，但也是客观存在着的，函数中无论自变量还是变量都是没有计量单位的“数”，这就是纯理论数学的函数。应用科学中的函数描述的是特指某个应用领域的特定被测量和与被测量有关的若干个待测量之间的关系，被测量和待测量都是带有计量单位的。这就是理论数学和应用科学之间的差异。
应用科学的函数可以用理论数学的规律来推理和求解，但是不能摆脱计量单位。理论数学可以指导应用科学的推理和求解，但是理论数学之所以冠以“理论”，就是把应用科学加以了提炼，并抽象化、理想化。理论数学讲直线无粗细，应用科学领域则不存在无粗细的直线。但应用科学要解决直线度检测问题时，却离不开理想直线。
二、包含两个自变量的积或商关系的函数解读
函数S＝ab中，自变量a、b都没有计量单位时是纯理论数学的函数，表示两个“数”的积。在应用科学中自变量a、b分别代表矩形的长与宽，S就是面积。a、b分别代表时间与速度，S就是距离。a、b分别代表电流和电阻，S就是电压。应用科学中不存在没有计量单位的自变量，也不存在没有计量单位的变量。
自变量的计量单位不同决定了变量（函数值）的计量单位是什么。不管它们的计量单位是什么，函数S＝ab的纯数学运算规律都是适用的、有效的，不能够说纯数学函数的运算规律和理论不适用于应用科学。所以若A=B=C成立，则A=B，A=C，B=C成立。同样1rad＝1m/m＝1成立，则1rad=1m/m，1rad＝1，1m/m＝1也成立。
函数S＝a/c，如果自变量a、b都没有计量单位，只是“数”，它也是纯数学的函数，表示两个数的商。在应用科学领域，a、c如果分别表示距离和时间，S就是速度；a、c如果分别表示一个角的对边和斜边，S就是这个角的正弦值；a、c如果分别表示一个斜块角度的对边和邻边，S就是斜块的斜度。同样应用科学中的自变量a和c都带有计量单位，变量S也不可能没有计量单位。纯理论数学的函数S＝a/c的运算规律同样也适用于上述所有应用科学的函数运算规律。
三、为什么1m/m=1，1kg/kg＝1，而1m/m≠1kg/kg
我们再回到应用科学的函数S＝a/c，自变量如果a是弧长，c是半径，S就是角度。因为弧长和半径的计量单位都是m，角度的计量单位就必然是m/m。国际计量大会给了1m/m一个专门名称叫弧度，专用符号是rad。在国际计量大会命名的前提条件下，所以才能得到1rad＝1m/m。没有国际计量大会命名的前提条件，角度的计量单位就只有m/m，而不会有rad。所以m/m才是角度计量单位的“真实姓名”，是“本”。rad是角度在一定条件下的计量单位“名字”，度分秒、百分度、密位等也都是角度在一定条件下的计量单位“名字”。
如果自变量a是白酒中乙醇含量，c是白酒总重，函数S＝a/c的变量S就是白酒中乙醇含量了。自变量a和c的计量单位都是kg，白酒乙醇含量S的计量单位必然是1kg/kg。和几何量计量中的mm/m、μm/m一样，微量元素含量常常用到它的十进分数单位mg/kg或者μg/kg。但角度和白酒乙醇含量并不是“同类量”，尽管最终的计量单位都量纲为1，都等于1，kg毕竟不是m，1m/m和1kg/kg永远也不能画等号。
四、三角函数值永远都是有计量单位的值
三角函数一定是针对某个角度，以角的正弦函数值为例，必然是角的对边除以斜边。两条边长一定会带有计量单位m，绝对不是“纯数字”，纯数字除以纯数字不是三角函数。两个边长的计量单位组合一定会导出一个新的计量单位m/m，这就是正弦函数值的计量单位。所以三角函数永远带有计量单位。之所以人们把三角函数当成纯数学，我前面已经几次谈到了，不再多说。总之，三角函数计算中一定要注意两条边的计量单位的统一，要么同时使用计量单位m，要么使用m的同一个十进倍数（分数）单位。不考虑计量单位或者计量单位不统一的两条边边长的商很可能会造成三角函数计算的巨大错误。